Il Tau Manifesto

1.1 Una proposta immodesta

Iniziamo a riparare il danno portato da \( \pi \) cercando come prima cosa di capire il famosissimo numero vero e proprio. La definizione tradizionale per la costante del cerchio definisce \( \pi \) come il rapporto fra la circonferenza del cerchio (la lunghezza) e il suo diametro (la larghezza):²

Il numero \( \pi \) ha moltissime proprietà interessanti—oltre a molte altre cose, è irrazionale e trascendente—e la sua diffusa presenza nelle formule matematiche è ben conosciuta.

Figura 1: Anatomia di un cerchio.

Dovrebbe essere ovvio che \( \pi \) non è “sbagliato” nel senso di essere oggettivamente sbagliato; il numero \( \pi \) è perfettamente ben definito, e possiede tutte le proprietà che i matematici gli attribuiscono normalmente. Quando diciamo che “\( \pi \) è sbagliato”, intendiamo che \( \pi \) è una scelta che confonde ed è innaturale per la costante del cerchio. In particolare, un cerchio è definito come l’insieme dei punti a una distanza fissa, il raggio, da un punto dato, il centro (Figura 1). Mentre ci sono infinite forme con larghezza costante (Figura 2),³ ne esiste una sola con raggio costante. Ciò suggerisce che una definizione più naturale per la costante del cerchio potrebbe utilizzare \( r \) invece che \( D \):

Poiché il diametro di un cerchio è il doppio del suo raggio, tale numero è numericamente uguale a \( 2\pi \). Come \( \pi \), è trascendente e dunque irrazionale, e (come vedremo in Sezione 2) il suo uso in matematica è altrettanto diffuso.

Figura 2: Una delle infinite forme non-circolari con larghezza costante.

In “\( \pi \) Is Wrong!”, Bob Palais argomenta con persuasione in favore della seconda di queste due definizioni per la costante del cerchio, e secondo la mia prospettiva egli ha avuto il merito più grande nell’identificare questo problema e presentarlo a un pubblico più ampio. Egli chiama la vera costante del cerchio “un giro”, e introduce anche un nuovo simbolo per rappresentarla (Figura 3). Come vedremo, la sua descrizione è preveggente, ma sfortunatamente il simbolo è relativamente strano, e (come discusso in Sezione 4) sembra improbabile che possa ottenere grande adozione.

Figura 3: Lo strano simbolo per la costante del cerchio in “\( \pi \) Is Wrong!”.

Il Tau Manifesto è dedicato a sostenere il fatto che la risposta migliore a “\( \pi \) è sbagliato” sia “No, davvero.” E che la vera costante del cerchio meriti un nome adeguato. Come si sarà potuto immaginare, Il Tau Manifesto propone che tale nome debba essere la lettera greca \( \tau \) (tau):

Per tutto il resto di questo manifesto, vedremo che il numero \( \tau \) è la scelta corretta, e mostreremo tramite il suo utilizzo (Sezione 2 e Sezione 3) e per argomentazione diretta (Sezione 4) che la lettera \( \tau \) è anch’essa una scelta naturale.

1.2 Un potente nemico

Prima di procedere con la dimostrazione che \( \tau \) è la scelta naturale per la costante del cerchio, dobbiamo innanzitutto realizzare con cosa abbiamo a che fare—e che esiste una potente cospirazione, da più di cento anni, determinata a diffondere propaganda pro-\( \pi \). Interi libri sono stati scritti inneggiando alle virtù di \( \pi \). (Voglio dire, libri interi!) E la devozione irrazionale a \( \pi \) si è diffusa anche ai più alti livelli di geekdom; ad esempio, nel “Pi Day” 2010 Google ha cambiato il proprio logo per onorare \( \pi \) (Figura 4).

Figura 4: Il logo di Google il 14 marzo (3/14), 2010 (“Pi Day”).

Nel mentre, alcune persone memorizzano decine, centinaia, persino migliaia di cifre di questo mistico numero. Quale poveraccio memorizzerebbe persino 40 cifre di \( \pi \) (Figura 5)?⁴

Davvero, i sostenitori di \( \tau \) hanno a che fare con un audace nemico. Eppure abbiamo un potente alleato—la verità è al nostro fianco.

2.1 Cerchi ed angoli

C’è una stretta connessione tra cerchi e angoli, come mostrato in Figura 6. Dato che i cerchi concentrici in Figura 6 hanno raggi differenti, le linee in figura dividono lunghezze d’arco differenti, ma l’angolo \( \theta \) (theta) è lo stesso in entrambi i casi. In altre parole, l’ampiezza dell’angolo non dipende dal raggio del cerchio utilizzato per definire l’arco. Il compito principale nella misurazione degli angoli è quella di creare un sistema che catturi questa indipendenza dal raggio.

Figura 6: Un angolo \( \theta \) con due cerchi concentrici.

Probabilmente il sistema angolare più semplice è quello dei gradi, che dividono un cerchio in 360 parti uguali. Un risultato di questo sistema è l’insieme di angoli notevoli (familiare agli studenti di trigonometria) mostrato in Figura 7.

Figura 7: Alcuni angoli notevoli, in gradi.

Un sistema più fondamentale per misurare gli angoli consiste in un confronto diretto della lunghezza d’arco \( s \) con il raggio \( r \). Nonostante le lunghezze in Figura 6 siano differenti, la lunghezza d’arco cresce in proporzione al raggio, dunque il rapporto tra la lunghezza d’arco e il raggio è la stessa in entrambi i casi:

Questo suggerisce la seguente definizione di misurazione in radianti:

Questa definizione ha la proprietà desiderata di indipendenza dal raggio, e dato che sia \( s \) che \( r \) hanno come unità di misura una lunghezza, i radianti sono adimensionali per costruzione. L’uso dei radianti come unità di misura degli angoli porta a formule eleganti e succinte in tutta la matematica; ad esempio, la classica formula per la derivata di \( \sin\theta \) è vera solo quando \( \theta \) è espresso in radianti:

Naturalmente, gli angoli notevoli in Figura 7 possono essere espressi in radianti, e quando avete fatto trigonometria alle superiori, avrete probabilmente memorizzato i valori speciali mostrati in Figura 8. (chiameremo questo sistema di misurazione \( \pi \)-radianti per enfatizzare che sono scritti in termini di \( \pi \).)

Figura 8: Alcuni angoli notevoli, in \( \pi \)-radianti.

Figura 9: Gli “speciali” angoli notevoli sono frazioni dell’intero cerchio.

Ora, un momento di riflessione mostra che i cosiddetti angoli “notevoli” sono solo frazioni razionali particolarmente semplici del cerchio, come mostrato in Figura 9. Ciò suggerisce di rivisitare l’Eq. (4), riscrivendo la lunghezza d’arco \( s \) in termini della frazione \( f \) sull’intera circonferenza \( C \), i.e., \( s = f C \):

Notare come \( \tau \) derivi naturalmente da questa analisi. Se siete credenti in \( \pi \), temo che il risultante diagramma degli angoli notevoli (Figura 10) possa scuotere la vostra fede nel profondo.

Figura 10: Alcuni angoli notevoli, in radianti.

Pur essendoci molti altri punti in favore di \( \tau \), la Figura 10 è probabilmente la più suggestiva. Vediamo anche dalla Figura 10 il genio nell’identificazione di Bob Palais della costante del cerchio come “un giro”: \( \tau \) è la misura dell’angolo in radianti per l’angolo giro di un cerchio. Inoltre, con \( \tau \) non c’è niente da memorizzare: un dodicesimo di un giro è \( \tau/12 \), un ottavo di un giro è \( \tau \)/8, e così via. Usare \( \tau \) ci dà il meglio dei due mondi combinando chiarezza concettuale con tutti i benefici concreti dei radianti; per esempio, il significato astratto di \( \tau \)/12 è ovvio, ma è anche semplicemente un numero:

Infine, confrontando la Figura 8 con la Figura 10, vediamo anche da dove arrivano quei fastidiosi fattori di \( 2\pi \): un giro del cerchio è \( 1\tau \), ma \( 2\pi \). Numericamente sono uguali, ma concettualmente sono abbastanza distinti.

2.2 Le funzioni del cerchio

Anche se la misurazione in radianti fornisce una delle argomentazioni più convincenti per la vera costante del cerchio, vale la pena comparare le virtù di \( \pi \) e \( \tau \) anche in altri contesti. Iniziamo considerando le importanti funzioni elementari \( \sin\theta \) e \( \cos\theta \). Conosciute come le “funzioni del cerchio” dato che forniscono le coordinate di un punto sulla circonferenza unitaria (i.e., la circonferenza di un cerchio di raggio \( 1 \)), seno e coseno sono le funzioni fondamentali della trigonometria (Figura 11).

Figura 11: Le funzioni del cerchio sono coordinate sulla circonferenza unitaria.

Esaminiamo i grafici delle funzioni del cerchio per comprendere meglio il loro comportamento.⁶ Potrete notare dalla Figura 12 e dalla Figura 13 che entrambe le funzioni sono periodiche con periodo \( T \). Come mostrato in Figura 12, la funzione seno \( \sin\theta \) inizia a zero, raggiunge un massimo a un quarto di periodo, passa attraverso zero a metà periodo, raggiunge un minimo a tre quarti di periodo, e ritorna a zero dopo un intero periodo. Al contempo, la funzione coseno \( \cos\theta \) inizia da un massimo, ha un minimo a metà periodo, e passa attraverso zero a un quarto e tre quarti di periodo (Figura 13). Per riferimento, entrambe le figure mostrano i valori di \( \theta \) (in radianti) in ogni punto notevole.

Figura 12: Punti importanti per \( \sin\theta \) in termini del periodo \( T \).

Figura 13: Punti importanti per \( \cos\theta \) in termini del periodo \( T \).

Ovviamente, dato che sia seno che coseno compiono un intero ciclo durante un giro del cerchio, abbiamo che \( T = \tau \); i.e., le funzioni del cerchio hanno periodo uguale alla costante del cerchio. Di conseguenza, gli “speciali” valori notevoli di \( \theta \) sono assolutamente naturali: un quarto di periodo è \( \tau/4 \), metà periodo è \( \tau/2 \), eccetera. Ed infatti, mentre disegnavo la Figura 12, mi son ritrovato a chiedermi quale fosse il valore numerico di \( \theta \) per lo zero della funzione seno. Dato che lo zero compare dopo metà periodo, e dato che \( \tau \approx 6.28 \), un veloce calcolo a mente porta al seguente risultato:

Proprio così: sono rimasto sbalordito nello scoprire che mi ero già dimenticato che \( \tau/2 \) è ogni tanto anche chiamato “\( \pi \)”. Magari è successa una cosa del genere anche a voi proprio adesso. Benvenuti nel mio mondo.

2.3 L’identità di Eulero

Sarei negligente se non mi occupassi in questo manifesto dell’identità di Eulero, a volte chiamata “la più elegante equazione della matematica”. Questa identità riguarda la funzione esponenziale complessa, la quale è profondamente collegata sia alle funzioni del cerchio che alla geometria del cerchio stesso.

In funzione della strada intrapresa, la seguente equazione può essere dimostrata come teorema o presa come definizione; in ogni caso, è un risultato particolarmente notevole:

Conosciuta come la formula di Eulero (dal matematico Eulero), questa equazione mette in relazione un esponenziale con argomento immaginario con le funzioni del cerchio seno e coseno e l’unità immaginaria \( i \). Nonostante la giustificazione della formula di Eulero sia al di là della portata di questo manifesto, la sua provenienza è al di sopra di ogni sospetto, e la sua importanza resta fuori discussione.

Calcolare l’Eq. (5) in \( \theta = \tau \) fornisce l’identità di Eulero:⁷

A parole, l’Eq. (6) fornisce la seguente osservazione fondamentale:

Geometricamente, moltiplicare per \( e^{i\theta} \) corrisponde a ruotare un numero complesso per un angolo \( \theta \) nel piano complesso, il che suggerisce una seconda interpretazione dell’identità di Eulero:

Dato che il numero \( 1 \) è l’identità moltiplicativa, il significato geometrico di \( e^{i\tau} = 1 \) è che ruotare un punto nel piano complesso di un giro semplicemente lo fa ritornare nella sua posizione originale.

Come nel caso della misurazione in radianti, notiamo quanto l’associazione tra \( \tau \) e un giro del cerchio sia naturale. In effetti, l’identificazione di \( \tau \) con “un giro” fa sembrare l’identità di Eulero quasi una tautologia.⁸

Identità euleriane

Dato che si può aggiungere zero ovunque in qualsiasi equazione, l’introduzione di \( 0 \) nell’Eq. (9) è una sorta di contrappunto ironico a \( e^{i\pi} + 1 = 0 \), ma l’identità \( e^{i\pi} = -1 \) ha davvero un qualcosa di importante da dire. Osserviamo cosa succede quando la riscriviamo in termini di \( \tau \):

\[ e^{i\tau/2} = -1. \]

Geometricamente, questa equazione ci dice che una rotazione di metà turno è la stessa cosa che moltiplicare per \( -1 \). Ed effettivamente è proprio così: con una rotazione di \( \tau/2 \) radianti, il numero complesso \( z = a + ib \) viene mappato a \( -a - ib \), che è in effetti semplicemente \( -1\cdot z \).

Riscritta in termini di \( \tau \), osserviamo che la versione “originale” dell’identità di Eulero (Eq. (7)) possiede un evidente significato geometrico che manca quando scritta in termini di \( \pi \). (Ovviamente, \( e^{i\pi} = -1 \) può essere interpretata come una rotazione di \( \pi \) radianti, ma la riscrittura quasi universale nell’arrivare a \( e^{i\pi} + 1 = 0 \) mostra come usare \( \pi \) distragga dal significato geometrico naturale dell’identità.) Le identità con un quarto di angolo hanno interpretazioni geometriche simili: calcolare l’Eq. (5) in \( \tau/4 \) dà \( e^{i\tau/4} = i \), che semplicemente dice che un quarto di giro nel piano complesso è lo stesso che moltiplicare per \( i \); allo stesso modo, \( e^{i\cdot(3\tau/4)} = -i \) indica che tre quarti di un giro è lo stesso che moltiplicare per \( -i \). Un riassunto di questi risultati, che chiameremo identità euleriane, si trova in Tabella 1.

Angolo di rotazione	Identità euleriana
\( 0 \)	\( e^{i\cdot0} \)	\( = \)	\( 1 \)
\( \tau/4 \)	\( e^{i\tau/4} \)	\( = \)	\( i \)
\( \tau/2 \)	\( e^{i\tau/2} \)	\( = \)	\( -1 \)
\( 3\tau/4 \)	\( e^{i\cdot(3\tau/4)} \)	\( = \)	\( -i \)
\( \tau \)	\( e^{i\tau} \)	\( = \)	\( 1 \)

Tabella 1: Identità euleriane per metà, un quarto, e una rotazione completa.

Possiamo portare questa analisi un ulteriore passo avanti notando che, per ogni angolo \( \theta \), \( e^{i\theta} \) può essere interpretato come un punto sulla circonferenza unitaria nel piano complesso. Dato che il piano complesso identifica l’asse orizzontale con la parte reale del numero e l’asse verticale con la parte immaginaria, la formula di Eulero ci dice che \( e^{i\theta} \) corrisponde alle coordinate \( (\cos\theta, \sin\theta) \). Inserendo i valori degli angoli “speciali” della Figura 10 nella Eq. (5) si ottengono i punti mostrati in Tabella 2, e riportandoli nel piano complesso ricaviamo la Figura 14. Un confronto di Figura 14 con Figura 10 toglie velocemente ogni dubbio su quale scelta della costante del cerchio riveli al meglio la relazione fra la formula di Eulero e la geometria del cerchio.

Forma polare	Forma rettangolare	Coordinate
\( e^{i\theta} \)	\( \cos\theta + i\sin\theta \)	\( (\cos\theta, \sin\theta) \)
\( e^{i\cdot0} \)	\( 1 \)	\( (1, 0) \)
\( e^{i\tau/12} \)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \)	\( (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \)
\( e^{i\tau/8} \)	\( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \)	\( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \)
\( e^{i\tau/6} \)	\( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} i \)	\( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( e^{i\tau/4} \)	\( i \)	\( (0, 1) \)
\( e^{i\tau/3} \)	\( -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} i \)	\( (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( e^{i\tau/2} \)	\( -1 \)	\( (-1, 0) \)
\( e^{i\cdot(3\tau/4)} \)	\( -i \)	\( (0, -1) \)
\( e^{i\tau} \)	\( 1 \)	\( (1, 0) \)

Tabella 2: Esponenziali complessi degli angoli notevoli di Figura 10.

Figura 14: Esponenziali complessi di alcuni angoli notevoli, riportati sul piano complesso.

3.1 Forme quadratiche

Esaminiamo questo modello perfetto di \( \pi \), \( A = \pi r^2 \). Notiamo che include il diametro—no, aspetta, il raggio—elevato alla seconda. Ciò lo rende una semplice forma quadratica. Queste forme si presentano in molti contesti; come fisico, i miei esempi preferiti provengono dal curriculum base di fisica. Ne prenderemo alcuni in considerazione.

3.2 Un senso di presagio

Avendo già visto qualche esempio di semplici forme quadratiche in fisica, potreste avere ora un qualche presentimento. Come vedremo, è una sensazione perfettamente giustificata.

Figura 15: Divisione di un cerchio in anelli.

Come si vede in Figura 15, l’area del cerchio può essere calcolata dividendolo in corone circolari di lunghezza \( C \) e spessore \( dr \), dove l’area di ogni corona è \( C\,dr \):

A questo punto la circonferenza di un cerchio è proporzionale al suo raggio:

La costante di proporzionalità è \( \tau \):

L’area del cerchio è dunque l’integrale su tutti gli anelli:

Se eravate ancora dei difensori della causa di \( \pi \) all’inizio di questa sezione, ora siete rimasti a bocca aperta. Infatti, vediamo che anche in questo caso, dove presumibilmente \( \pi \) dovrebbe brillare, manca in realtà un fattore \( 2 \). Non a caso, la dimostrazione originale di Archimede non mostra che l’area di un cerchio è \( \pi r^2 \), ma che è uguale all’area di un triangolo rettangolo con base \( C \) e altezza \( r \). Applicando la formula per l’area triangolare otteniamo:

Semplicemente non c’è alcun modo per evitare quel fattore di \( 1/2 \) (Tabella 3).

4.1 Un giro

Il vero test di ogni notazione è il suo utilizzo; avendo visto l’uso di \( \tau \) per tutto questo manifesto, potreste già essere convinti che faccia il proprio dovere come simbolo. Ma per una costante così fondamentale come \( \tau \), sarebbe bello poter avere delle ragioni più profonde per questa nostra scelta. Perché non \( \alpha \), ad esempio, o \( \omega \)? Cosa rende \( \tau \) così speciale?

Ci sono due ragioni principali per usare \( \tau \) come costante del cerchio. La prima è che \( \tau \) assomiglia visivamente a \( \pi \): dopo secoli di utilizzo, l’associazione di \( \pi \) con la costante del cerchio è inevitabile, e l’utilizzo di \( \tau \) non fa che alimentare questa associazione invece di combatterla. (Effettivamente, la linea orizzontale nelle due lettere suggerisce l’interpretazione delle “gambe” come denominatori, dunque \( \pi \) ha due gambe nel denominatore, mentre \( \tau \) ne ha una sola. Visto in questo modo, il rapporto \( \tau = 2\pi \) è perfettamente naturale.)¹⁰

La seconda ragione è che \( \tau \) corrisponde a un giro di orologio (N.d.T.: in inglese, “turn”), e potreste aver notato che “\( \tau \)” e “turn” iniziano entrambi con il suono di una “t”. Questa è stata la motivazione originale per la scelta di \( \tau \), e non è una coincidenza: la radice della parola inglese “turn” è la parola di origine greca τόρνος (tornos), che significa “tornio”. Usando una font matematica per la prima lettera in τόρνος, otteniamo infine: \( \tau \).

Dal lancio originale de Il Tau Manifesto, ho appreso che Peter Harremoës propose indipendentemente l’uso di \( \tau \) all’autore di “\( \pi \) Is Wrong!” Bob Palais nel 2010, John Fisher propose \( \tau \) in un Usenet post nel 2004, e Joseph Lindenberg anticipò sia la proposta che il simbolo più di venti anni prima!¹¹ Il Dr. Harremoës in particolare enfatizzò l’importanza di un’argomentazione inizialmente proposta in Sezione 1.1: usare \( \tau \) dà un nome alla costante del cerchio. Dato che \( \tau \) è una comune lettera greca, potrà essere pronunciata immediatamente anche da coloro che la incontreranno per la prima volta. Inoltre, diversamente dal chiamare la costante del cerchio semplicemente un “giro” (N.d.T.: in inglese, “a turn”), \( \tau \) funziona bene sia in contesti scritti che parlati. Ad esempio, dire che un quarto di cerchio rappresenta “un quarto di giro” radianti suona bene, ma “giro su quattro radianti” o “giro quarti radianti” suona scomodo, e “l’area di un cerchio è mezzo giro \( r \) al quadrato” suona decisamente strano. Usando \( \tau \), possiamo dire “tau quarti radianti” e “l’area di un cerchio è tau mezzi \( r \) al quadrato”.

4.2 Il Pi Manifesto

Nonostante molte obiezioni a \( \tau \) arrivino da corrispondenze email e commenti vari sparsi nel Web, c’è anche una resistenza organizzata. In particolare, dalla pubblicazione del Tau Manifesto nel giugno 2010, è apparso un “Pi Manifesto” per difendere la causa della tradizionale costante del cerchio. Questa sezione e le due successive contengono una confutazione di queste argomentazioni. Per necessità, questo sviluppo è più conciso ed avanzato rispetto al resto del manifesto, ma anche una lettura sommaria di quanto segue darà un’impressione della debolezza degli argomenti presentati dal Pi Manifesto.

Anche se possiamo certamente considerare l’apparizione del Pi Manifesto come un buon segno del continuo interesse per questo argomento, quest’ultimo fa diverse affermazioni false. Ad esempio, dice che il fattore di \( 2\pi \) nella distribuzione (normale) gaussiana è una coincidenza, e quest’ultima può essere scritta in modo più naturale come

Ma non è così: il fattore \( 2\pi \) deriva dall’elevare alla seconda la distribuzione gaussiana non normalizzata e passando in coordinate polari, il che porta a un fattore \( 1 \) dall’integrale radiale e a un fattore \( 2\pi \) dall’integrale angolare. Come per il caso dell’area circolare, il fattore \( \pi \) proviene da \( 1/2\times 2\pi \), non da \( \pi \) soltanto.

Un’affermazione correlata è il fatto che la funzione Gamma valutata in \( 1/2 \) sia più naturale in termini di \( \pi \):

dove

Ma \( \Gamma(\frac{1}{2}) \) si riduce allo stesso integrale gaussiano come per la distribuzione normale (ponendo \( u = x^{1/2} \)), dunque anche in questo caso il \( \pi \) è in realtà \( 1/2\times 2\pi \). Effettivamente, in molti dei casi citati del Pi Manifesto, la costante del cerchio entra in gioco con un integrale su tutti gli angoli, i.e., per \( \theta \) che va da \( 0 \) a \( \tau \).

Il Pi Manifesto esamina anche alcune formule per poligoni regolari a \( n \) lati (o “\( n \)-goni”). Ad esempio, fa notare che la somma degli angoli interni di un \( n \)-gono è data da

Questo problema è stato trattato in “Pi Is Wrong!”, che fa notare come: “La somma degli angoli interni [di un triangolo] è \( \pi \), certamente. Ma la somma degli angoli esterni di ogni poligono, da cui la somma degli angoli interni può essere facilmente derivata, e che viene generalizzata con l’integrale della curvatura di una curva chiusa semplice, è \( 2\pi \).” Inoltre, il Pi Manifesto offre la formula per l’area di un \( n \)-gono con raggio unitario (la distanza centro-vertice),

chiamandola “chiaramente… un’altra vittoria per \( \pi \).” Ma usando la formula di duplicazione \( \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta \) vediamo che questa espressione può essere riscritta come

che è semplicemente

In altre parole, l’area di un \( n \)-gono ha un fattore naturale di \( 1/2 \). Infatti, facendo il limite dell’Eq. (12) per \( n\rightarrow \infty \) (e applicando la regola di L’Hôpital’s) otteniamo l’area di un poligono regolare unitario con infiniti lati, i.e., un cerchio unitario:

In questo contesto, dobbiamo notare come il Pi Manifesto faccia tanto rumore per nulla sul fatto che \( \pi \) sia l’area di un disco unitario, così da avere che (ad esempio) l’area di un quarto di cerchio (unitario) è \( \pi/4 \). Ciò sarebbe, come viene sostenuto, un’argomentazione altrettanto valida per \( \pi \) quanto la misura degli angoli in radianti lo è per \( \tau \). Sfortunatamente per questa osservazione, come notato nella Sezione 3 e come si vede ancora nell’Eq. (13), il fattore \( 1/2 \) sorge naturalmente nel contesto dell’area circolare. Infatti, la formula per l’area di un settore circolare sotteso da un angolo \( \theta \) è

quindi non c’è alcun modo di evitare il fattore \( 1/2 \) in generale. (Vediamo dunque che \( A = \frac{1}{2} \tau\, r^2 \) è semplicemente il caso speciale \( \theta = \tau \).)

In breve, la differenza fra la misurazione degli angoli e l’area non è arbitraria. Non c’è alcun fattore naturale di \( 1/2 \) nel caso della misurazione degli angoli. Al contrario, nel caso dell’area il fattore di \( 1/2 \) sorge attraverso l’integrale di una funzione lineare in associazione con una semplice forma quadratica. In realtà, le argomentazioni per \( \pi \) sono persino peggiori di quanto sembrino, come mostrato nella prossima sezione.

5.1 Area e volume di una ipersfera

Iniziamo le nostre indagini con la generalizzazione di un cerchio a dimensioni arbitrarie.¹⁶ Questo oggetto, chiamato ipersfera o \( n \)-sfera, può essere definito come segue.¹⁷ (Per comodità, si assume che queste sfere siano centrate nell’origine.) Una \( 0 \)-sfera è l’insieme vuoto, e definiamo la sua “parte interna” come un punto.¹⁸ Una \( 1 \)-sfera è l’insieme di tutti i punti che soddisfano

che consiste nei due punti \( \pm r \). La sua parte interna, che soddisfa

è il segmento da \( -r \) a \( r \). Una \( 2 \)-sfera è un cerchio, ovvero l’insieme di tutti i punti che soddisfano

La sua parte interna, che soddisfa

è un disco. Allo stesso modo, una \( 3 \)-sfera soddisfa

e la sua parte interna è una palla. La generalizzazione a \( n \) arbitrari, sebbene difficile da visualizzare per \( n > 3 \), è immediata: una \( n \)-sfera è l’insieme di tutti i punti che soddisfano

Il Pi Manifesto (discusso in Sezione 4.2) include una formula per il volume di una \( n \)-sfera unitaria come argomentazione in favore di \( \pi \):

dove la funzione Gamma è data dall’Eq. (11). L’Eq. (14) è un caso speciale della formula per un raggio generico, ed è anch’essa tipicamente scritta in termini di \( \pi \):

Poiché \( V_n(r) = \int S_n(r)\,dr \), abbiamo \( S_n(r) = dV_n(r)/dr \), il che significa che l’area può essere scritta in questo modo:

Invece di considerare queste formule direttamente, vediamo se possiamo in qualche modo districarle per fare più luce sulla questione di \( \pi \) vs. \( \tau \). Iniziamo la nostra analisi osservando che l’apparente semplicità delle formule sopra indicate è un’illusione: sebbene la funzione Gamma sia notazionalmente semplice, in realtà è un integrale su un dominio semi-infinito, il che non è affatto un’idea banale. Fortunatamente, la funzione Gamma può essere semplificata in alcuni casi particolari. Per esempio, quando \( n \) è un intero, è facile mostrare (usando integrazione per parti) che

Vista in questo modo, \( \Gamma \) può essere interpretata come una generalizzazione della funzione fattoriale ad argomenti di valore reale.¹⁹

Nelle formule per area e volume \( n \)-dimensionali, l’argomento di \( \Gamma \) non è necessariamente un intero, ma è piuttosto \( \left(1 + \frac{n}{2}\right) \), che è un intero quando \( n \) è pari ed è metà-intero quando \( n \) è dispari. Tenendo conto di questo fatto otteniamo la seguente espressione, che è presa da un riferimento standard, Wolfram MathWorld, ed è come solito espressa in termini di  \( \pi \):

Integrando rispetto ad \( r \) otteniamo

Esaminiamo l’Eq. (18) più in dettaglio. Notiamo innanzitutto che MathWorld usa la funzione doppio fattoriale \( n!! \)—ma, stranamente, viene usato solo nel caso dispari. (Questo è un indizio di ciò che ci aspetta.) La funzione doppio fattoriale, anche se incontrata raramente in matematica, è elementare: è come la normale funzione fattoriale, ma sottrae \( 2 \) di volta in volta invece che \( 1 \), così che, e.g., \( 5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 \) e \( 6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 \). In generale, abbiamo

(Per definizione, \( 0!! = 1!! = 1 \).) Possiamo notare come l’Eq. (19) si divida naturalmente in casi pari e dispari, rendendo la decisione di MathWorld di usarla solo nel caso dispari ancora più misteriosa.

Per risolvere questo mistero, inizieremo dando un’occhiata più da vicino alla formula per \( n \) dispari nell’Eq. (18):

Esaminando l’espressione

notiamo che può essere riscritta come

e qui riconosciamo il nostro vecchio amico \( 2\pi \).

Consideriamo ora il caso pari nell’Eq. (18). Abbiamo fatto notare sopra quanto sia strano usare il fattoriale ordinario nel caso pari ma il doppio fattoriale nel caso dispari. In effetti, dato che il doppio fattoriale è già definito per casi, possiamo unificare le formule usando \( n!! \) in entrambi i casi e metterlo così a fattor comune:

Dunque, c’è qualche relazione tra il fattoriale e il doppio fattoriale? Sì—quando \( n \) è pari, i due sono correlati dalla seguente identità:

(Questa proprietà è facile da verificare per induzione matematica.) Sostituendo questa espressione nella formula per il volume quando \( n \) è pari otteniamo

che ha una sorprendente somiglianza con

e ancora una volta troviamo un fattore di \( 2\pi \).

Mettendo insieme questi risultati, vediamo che l’Eq. (18) può essere riscritta come

e l’Eq. (17) può essere riscritta come

Applicando la sostituzione \( \tau=2\pi \) nell’Eq. (21) otteniamo

Per unificare ulteriormente le formule, possiamo usare la funzione parte intera \( \lfloor x \rfloor \), che semplicemente esprime l’intero più grande minore o uguale ad \( x \) (equivalente a tagliare via la parte frazionaria, così da avere, e.g., \( \lfloor 3.7 \rfloor = \lfloor 3.2 \rfloor = 3 \)). Con questo abbiamo che

il che ci permette di scrivere la formula in questo modo:

Integrando l’Eq. (22) rispetto ad \( r \), otteniamo infine

Ricorrenze

Abbiamo visto, tramite le Eq. (27) e Eq. (28), che le formule per l’area e il volume sono più semplicemente espresse in termini dell’angolo retto \( \lambda \). Tuttavia, non abbiamo ancora finito con \( \tau \).

Come notato nell’Eq. (28), la formula per il volume si divide in modo naturale in due famiglie, corrispondenti agli spazi dimensionali pari e dispari, rispettivamente. Ciò significa che il volume quadridimensionale, \( V_4 \), è collegato semplicemente a \( V_2 \) ma non a \( V_3 \), mentre \( V_3 \) è collegato a \( V_1 \) ma non a \( V_2 \). In che modo sono allora esattamente connessi?

Possiamo trovare la risposta derivando le relazioni di ricorrenza tra dimensioni.²¹ In particolare, dividiamo il volume di una sfera \( n \)-dimensionale per il volume di una sfera \( (n-2) \)-dimensionale:

\begin{equation} \label{eq:volume_recurrence} \begin{split}\frac{V_n(r)}{V_{n-2}(r)}& = \frac{2^n}{2^{n-2}} \frac{\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{\lambda^{\left\lfloor \frac{n-2}{2} \right\rfloor}} \frac{(n-2)!!}{n!!} \frac{r^{n}}{r^{n-2}} \\ &= \frac{2^2\lambda}{n}\,r^2.\end{split} \end{equation}

Vediamo dall’Eq. (29) che possiamo ottenere il volume di una \( n \)-sfera semplicemente moltiplicando la formula per una \( (n-2) \)-sfera per \( r^2 \) (un fattore richiesto per analisi dimensionale), dividendo per \( n \), e moltiplicando per la “costante di ricorrenza” \( 2^2\lambda \).

Allo stesso modo, per la superficie abbiamo che

\begin{equation} \label{eq:surface_area_recurrence} \begin{split}\frac{S_n(r)}{S_{n-2}(r)}& = \frac{2^n}{2^{n-2}} \frac{\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{\lambda^{\left\lfloor \frac{n-2}{2} \right\rfloor}} \frac{(n-2-2)!!}{(n-2)!!} \frac{r^{n}}{r^{n-2}} \\ &= \frac{2^2\lambda}{n-2}\,r^2,\end{split} \end{equation}

con la stessa costante di ricorrenza \( 2^2\lambda \).

Dunque, sia nell’Eq. (29) che Eq. (30), la costante che mette in relazione le due dimensioni non è \( \lambda \) per sé, ma la combinazione \( 2^2\lambda \). Mettendola a confronto con l’Eq. (25), vediamo che questa non è nient’altro che \( \tau \)! Infatti, una derivazione alternativa per calcolo diretto della relazione di ricorrenza per il volume (che utilizza \( R \) dove noi scriviamo \( r \)) conclude con l’integrale

\begin{align} \label{eq:integral_recurrence} V_n(R) &= \int_0^{2\pi} \int_0^R V_{n-2}\left(\sqrt{R^2 - r^2}\right) \,r\,dr\,d\theta \nonumber \\ &= 2\pi V_{n-2}(R) \cdot \left[-\frac{R^2}{n}\left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2\right)^\frac{n}{2}\right]_{r=0}^{r=R} \\ &= \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}(R), \nonumber \end{align}

mostrando così che l’identificare \( \tau \) come la “costante di ricorrenza” non è una coincidenza—la costante di ricorrenza e la costante del cerchio sono in realtà proprio la stessa cosa:

\[ \tau = \mbox{costante del cerchio} = \mbox{costante di ricorrenza} = 2^2\lambda. \]

Di conseguenza, è \( \tau \), non \( \lambda \), a fornire il filo conduttore che unisce le due famiglie di soluzioni pari e dispari, come illustrato da Joseph Lindenberg in Tau Before It Was Cool (Figura 16).²²

Figura 16: Ricorrenze per area e volume.

Nel contesto generale di sfere \( n \)-dimensionali, indicheremo per comodità le formule per l’area e il volume in termini di \( \lambda \) come per le Eq. (27) e Eq. (28), ma dato un \( n \) qualsiasi esprimeremo i risultati in termini della costante di ricorrenza \( \tau \).

5.2 Tre famiglie di costanti

Armati con gli strumenti sviluppati nella Sezione 5.1, siamo ora pronti ad andare al fondo della questione di \( \pi \) e \( \tau \). Per completare l’immersione, useremo l’Eq. (27) e Eq. (28) per definire due famiglie di costanti, e poi usare le definizioni di \( \pi \) (Eq. (1)) per definirne una terza e rivelare esattamente cosa c’è di sbagliato in \( \pi \).

In primo luogo, definiamo una famiglia di “costanti superficiali” \( \tau_n \) dividendo l’Eq. (27) per \( r^{n-1} \), la potenza di \( r \) necessaria per ottenere una costante adimensionale:

In secondo luogo, definiamo una famiglia di “costanti volumetriche” \( \sigma_n \) dividendo la formula per il volume Eq. (28) per \( r^n \):

Con le due famiglie di costanti definite nelle Eq. (32) e Eq. (33), possiamo scrivere le due formule per l’area e il volume (Eq. (27) e Eq. (28)) in modo compatto come segue:

e

Grazie al fatto che \( V_n(r) = \int S_n(r)\,dr \), abbiamo la semplice relazione

Facciamo alcune osservazioni su queste due famiglie di costanti. La famiglia \( \tau_n \) ha un importante significato geometrico: ponendo \( r=1 \) nell’Eq. (32), notiamo che ogni \( \tau_n \) è l’area di una \( n \)-sfera unitaria, che è anche la misura angolare di una \( n \)-sfera completa. In particolare, indicando con \( s_n(r) \) la “lunghezza d’arco” \( n \)-dimensionale pari a una frazione \( f \) dell’area totale \( S_n(r) \), abbiamo

Qui \( \theta_n \) è semplicemente la generalizzazione \( n \)-dimensionale della misura angolare in radianti, e vediamo che \( \tau_n \) è la generalizzazione di “un giro” a \( n \) dimensioni, il che spiega perché la costante della 2-sfera (del cerchio) \( \tau_2 = 2^2\lambda = \tau \) porta così naturalmente al diagramma mostrato in Figura 10. Inoltre, abbiamo imparato nella Sezione 5.1 che \( \tau_2 \) è anche la “costante di ricorrenza” per aree e volumi della \( n \)-sfera.

Analogamente, le \( \sigma_n \) sono i volumi delle \( n \)-sfere unitarie. In particolare, \( \sigma_2 \) è l’area di un disco unitario:

Ciò mostra che \( \sigma_2 = \tau/2 = 3.14159\ldots \) ha effettivamente un significato geometrico indipendente. È importante notare, tuttavia, che non ha niente a che fare con diametri né circonferenze. In altre parole, \( \pi = C/D \) non è un membro della famiglia \( \sigma_n \).

Dunque, a quale famiglia di costanti appartiene in modo naturale \( \pi \)? Riscriviamo l’Eq. (1) in termini più appropriati per generalizzare a dimensioni superiori:

Vediamo dunque che \( \pi \) è naturalmente associato con aree divise dalla potenza del diametro necessaria per ottenere una costante adimensionale. Il che suggerisce l’introduzione di una terza famiglia di costanti \( \pi_n \):

Possiamo esprimere questa equazione in termini della famiglia \( \tau_n \) sostituendo \( D = 2r \) nell’Eq. (34) e applicando l’Eq. (32):

Ora siamo finalmente in grado di capire esattamente cosa c’è di sbagliato in \( \pi \). La principale significatività geometrica di \( 3.14159\ldots \) è che è l’area di un disco unitario. Ma questo numero deriva dal calcolare \( \sigma_n = \tau_n/n \) quando \( n=2 \):

Effettivamente è uguale a \( \pi_2 \):

Ma questa uguaglianza è una coincidenza: accade solo perché \( 2^{n-1} \) è accidentalmente uguale a \( n \) se \( n=2 \) (ovvero, \( 2^{2-1} = 2 \)). In tutte le dimensioni superiori, \( n \) e \( 2^{n-1} \) sono distinti. In altre parole, il significato geometrico di \( \pi \) è il risultato di un gioco di parole matematico.

6.1 Domande frequenti

• Dici sul serio? Ovviamente. Voglio dire, mi sto un po’ divertendo con questi argomenti, e il tono è occasionalmente leggero, ma c’è uno scopo serio. Porre la costante del cerchio uguale al rapporto fra circonferenza e diametro è una convenzione scomoda e che confonde. Anche se mi piacerebbe tanto vedere i matematici cambiare le proprie abitudini, non sono particolarmente preoccupato per loro; sanno badare a se stessi. La mia preoccupazione è per i neofiti, perché sono loro a subire il danno maggiore di questa scelta: come notato in Sezione 2.1, \( \pi \) è un disastro pedagogico. Provate a spiegare a un dodicenne (o a un trentenne) perché l’angolo espresso da un ottavo di cerchio—una fetta di pizza—è \( \pi/8 \). Un attimo, volevo dire \( \pi/4 \). Capite cosa intendo? È una follia—una pura e semplice follia.
• Come possiamo passare da \( \pi \) a \( \tau \)? La prossima volta che scriverete qualcosa che utilizza la costante del cerchio, dite semplicemente “Per comodità, sia \( \tau = 2\pi \)”, per poi procedere come al solito. (Ovviamente, questo potrebbe far sorgere la domanda a qualcuno, “Perché mai dovresti volerlo fare?”, e ammetto che sarebbe bello poter avere un posto a cui poterli rimandare. Se solo qualcuno scrivesse, diciamo, un manifesto a riguardo…) Il modo per far sì che le persone inizino ad usare \( \tau \) è iniziare ad usarlo noi stessi.
• Non è troppo tardi per cambiare? Non dovrebbero essere riscritti tutti i libri e le pubblicazioni? No in entrambi i casi. È vero che alcune convenzioni, anche se sfortunate, sono effettivamente irreversibili. Ad esempio, la scelta di Benjamin Franklin per i segni delle cariche elettriche fa sì che il familiare esempio delle correnti elettriche (ovvero, gli elettroni liberi nei metalli) le ponga come positive quando i portatori di carica sono negativi, e viceversa—maledicendo da allora gli studenti di fisica con la confusione dei segni negativi.²³ Cambiare questa convenzione vorrebbe davvero dire riscrivere tutti i libri di testo (e bruciare quelli vecchi) dato che è impossibile dire a colpo d’occhio quale convenzione viene usata. Al contrario, mentre la ridefinizione di \( \pi \) è di fatto impossibile, possiamo passare da \( \pi \) a \( \tau \) al volo usando la conversione
  \[ \pi \leftrightarrow \textstyle{\frac{1}{2}}\tau. \]

  È semplicemente una questione di sostituzione matematica, completamente robusta e reversibile fino in fondo. Il passaggio da \( \pi \) a \( \tau \) può avvenire quindi in modo incrementale; a differenza di una ridefinizione, non è necessario che avvenga tutta d’un tratto.

• L’uso di \( \tau \) non rischia di confondere, gli studenti specialmente? Se siete abbastanza intelligenti da capire la misurazione degli angoli in radianti, siete abbastanza intelligenti da capire \( \tau \)—e anche perché \( \tau \) confonde in realtà meno di \( \pi \). Oltretutto, non c’è nulla che rischia intrinsecamente di confondere nel dire “Sia \( \tau = 2\pi \)”; in senso stretto, è solo una semplice sostituzione. Infine, possiamo sfruttare la situazione come un’opportunità didattica: l’idea che \( \pi \) possa essere sbagliato è interessante, e gli studenti possono interagire con il materiale convertendo le equazioni nei loro libri di testo da \( \pi \) a \( \tau \) per vedere con i propri occhi quale delle due scelte è la migliore.
• Tutto ciò ha davvero importanza? Certamente. La costante del cerchio è importante. Le persone ci tengono abbastanza da scrivere interi libri sull’argomento, da celebrarla ogni anno in un giorno particolare, e da memorizzarne decine di migliaia di cifre. Per me è abbastanza importante da scriverne un intero manifesto, e per te forse abbastanza da leggerlo. E proprio perché è importante è difficile ammettere che la convenzione al momento in uso è sbagliata. (Voglio dire, come si fa ad andare a dirglielo a Rajveer Meena, detentore del record mondiale, che ha appena recitato 70,000 cifre decimali di metà della vera costante del cerchio?) Dato che la costante del cerchio è importante, è importante sceglierla correttamente, e abbiamo visto in questo manifesto che la costante corretta è \( \tau \). Anche se \( \pi \) è di grande importanza storica, l’importanza matematica di \( \pi \) è che è metà \( \tau \).
• Come mai è stato \( \pi \) ad essere utilizzato per primo? Come notazione, \( \pi \) venne reso popolare circa 300 anni fa da Eulero (basandosi su lavori di William Jones), ma le origini di \( \pi \)-il-numero si perdono nella notte dei tempi. Sospetto che la convenzione di usare \( C/D \) invece di \( C/r \) nacque semplicemente perché è più semplice misurare il diametro di un oggetto circolare rispetto al misurare il raggio. Ma questo non lo rende buona matematica, e mi sorprende che Archimede, che ha notoriamente approssimato la costante del cerchio, non si sia reso conto che \( C/r \) è il numero più fondamentale. Ma sono ancora più sorpreso che Eulero non abbia corretto il problema quando ne ha avuto la possibilità; a differenza di Archimede, Eulero aveva il vantaggio della notazione algebrica moderna, che (come abbiamo visto a partire dalla Sezione 2.1) rende abbondantemente chiare le relazioni sottostanti tra il cerchio e la sua costante. Incredibilmente, Eulero stesso usò il simbolo \( \pi \) per indicare sia \( C/D \) che \( C/r \) in due momenti diversi! Un vero peccato che non abbia standardizzato la scelta più conveniente.
• Perché ti interessa questo argomento? Prima di tutto, come cercatore di verità mi interessa la correttezza delle spiegazioni. Secondo, come insegnante ci tengo alla chiarezza nell’esposizione. Terzo, come hacker adoro questi "trucchetti" (N.d.T.: in inglese, "hack"). Quarto, come studente della storia e della natura umana trovo affascinante come l’assurdità di \( \pi \) sia rimasta in bella vista per secoli prima che qualcuno se ne accorgesse. Inoltre, molte delle persone che hanno mancato il bersaglio della vera costante del cerchio erano tra le persone più razionali e intelligenti che siano mai vissute. Quali altre cose ci stanno guardando in faccia in questo momento, in attesa soltanto di essere scoperte?
• Sei forse una specie di pazzo? Non sono proprio affari vostri, ma no. Oltre all’indossare occasionalmente scarpe insolite, sono normale sotto ogni altro aspetto. Non indovinereste mai che, lungi dall’essere un comune cittadino, sono in realtà un famigerato propagandista matematico.
• E i giochi di parole con \( \pi \)? Arriviamo ora all’obiezione finale. Lo so, lo so, “\( \pi \) in the sky” è una battuta così simpatica. Eppure, anche \( \tau \) è pieno di possibilità. Il \( \tau \)ismo ci dice: non è \( \tau \) ad essere una parte di \( \pi \), (N.d.T.: "a piece of \( \pi \)") ma \( \pi \) ad essere una parte di \( \tau \)—metà \( \tau \), per essere esatti. L’identità \( e^{i\tau} = 1 \) dice: “Sii uno con il \( \tau \).” E anche se l’osservazione che “Una rotazione di un giro è 1” può sembrare una \( \tau \)-tologia, è la vera natura del \( \tau \). Mentre contempliamo questa natura per ricercare la via del \( \tau \), dobbiamo ricordarci che il \( \tau \)ismo è basato sulla ragione, non sulla fede: i \( \tau \)isti non sono mai persone \( \pi \)e.

6.2 Sii uno con il tau

Abbiamo visto ne Il Tau Manifesto che la scelta naturale per la costante del cerchio è il rapporto non tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, ma il suo raggio. Questo numero necessita di un nome, e spero che possiate unirvi a me nel chiamarlo \( \tau \):

Il suo uso è naturale, la motivazione chiara, e le implicazioni profonde. Inoltre, porta con sé un bellissimo diagramma (Figura 17). Vediamo in Figura 17 un movimento attraverso lo yang (“la luce, il bianco, il movimento verso l’alto”) verso \( \tau/2 \) e un ritorno con lo yin (“il buio, il nero, il movimento verso il basso”) di nuovo a \( \tau \).²⁴ Usare \( \pi \) al posto di \( \tau \) è come avere lo yang senza lo yin.

Figura 17: I seguaci del \( \tau \)ismo cercando la via del \( \tau \).

6.3 Il Tau Day

Il Tau Manifesto è stato lanciato per la prima volta nel Tau Day: 28 giugno (6/28), 2010. Il Giorno del Tau è un momento per celebrare e gioire di tutto ciò che è matematico.²⁵ Se desiderate ricevere aggiornamenti su \( \tau \), tra cui notifiche su possibili eventi nei futuri Tau Day, potete iscrivervi alla Tau Manifesto mailing list qui sotto. E se pensate che i rotondeggianti dolci cucinati nella Giornata del Pi siano particolarmente gustosi, aspettate—la Giornata del Tau ha il doppio della torta! (N.d.T.: Tau Day has twice as much pi(e)!)