Le Manifeste de tau

1.1 Immodeste Proposition

On peut commencer à réparer les dommages causés par \( \pi \) en comprenant le nombre notoire lui-même. La définition traditionnelle pour la constante du cercle définit \( \pi \) comme égal au rapport de la circonférence d’un cercle (longueur) à son diamètre (largeur)².

Le nombre \( \pi \) a de nombreuses propriétés remarquables (entre autres, il est irrationnel et même transcendant) et sa présence dans les formules mathématiques est répandue.

Figure 1: Anatomie d’un cercle.

Il va sans dire, je présume, que \( \pi \) n’est pas « faux » dans le sens où il est factuellement incorrect; le nombre \( \pi \) est parfaitement bien défini, et il possède toutes les propriétés qui lui sont normalement attribuées par les mathématiciens. En disant que « \( \pi \) est faux », on veut dire que \( \pi \) est un choix déroutant et contre nature pour la constante du cercle. En particulier, un cercle est défini comme l’ensemble des points à une distance fixe, le rayon, d’un point déterminé, le centre (figure 1). Tandis qu’il existe une infinité de formes avec une largeur constante (figure 2)³, il n’y a qu’une seule forme avec un rayon constant. Cela suggère qu’une définition plus naturelle de la constante du cercle pourrait utiliser \( r \) à la place de \( D \) :

Parce que le diamètre d’un cercle est le double de son rayon, ce nombre est numériquement équivalent à \( 2\pi \). Tout comme \( \pi \), il est transcendant et donc irrationnel, et (comme on le verra dans la section 2) son utilisation en mathématiques est également répandue.

Figure 2: Une forme non circulaire à largeur constante (parmi une infinité).

Dans « \( \pi \) Is Wrong! », Bob Palais soutient de manière convaincante cette seconde définition de la constante du cercle; et il mérite, à mon avis, la majorité du crédit pour avoir identifié ce problème et pour l’avoir présenté à un large public. Il nomme la vraie constante du cercle « un tour », et il introduit aussi un nouveau symbole pour la représenter (figure 3). Comme on le verra, la description est presciente, mais le symbole est malheureusement plutôt étrange et (comme on le mentionne dans la section 4) il semble peu probable qu’il soit largement adopté un jour. (Mise à jour : Ceci s’est avéré être le cas, et depuis, Palais lui-même est devenu un fervent partisan des arguments de ce manifeste.)

Figure 3: Le symbole étrange de la constante du cercle de « \( \pi \) Is Wrong! ».

Le Manifeste de tau est dédié à avancer la proposition suivante : la bonne réponse à « \( \pi \) est faux » est « Non, mais vraiment ». Et la vraie constante du cercle mérite un nom approprié. Comme vous l’aurez probablement deviné, Le Manifeste de tau propose que ce nom soit la lettre grecque \( \tau \) (tau) :

Tout au long de ce manifeste, on verra que le nombre \( \tau \) est le bon choix, et l’on montrera par l’usage (section 2 et section 3) et par l’argumentation directe (section 4) que la lettre \( \tau \) est aussi un choix naturel.

1.2 Un ennemi puissant

Avant de procéder à la démonstration que \( \tau \) est le choix naturel pour la constante du cercle, reconnaissons d’abord ce à quoi nous devons faire face; car il existe une grande conspiration, vieille de plusieurs siècles, déterminée à propager la propagande pro-\( \pi \). Des livres entiers sont écrits qui vantent les vertus de \( \pi \). (Sérieusement, des livres!) Et la dévotion irrationnelle à \( \pi \) s’est propagée même aux plus hauts niveaux de la culture geek; par exemple, le « jour de pi » en 2010, Google a changé son logo pour honorer \( \pi \) (figure 4).

Figure 4: Le logo Google le 14 mars (écrit 3/14 aux États-Unis; « le Jour de pi ») 2010.

Pendant ce temps, certaines personnes mémorisent des dizaines, des centaines, voire des milliers de chiffres de ce nombre mystique. Qui-donc, sinon un raté, mémoriserait ne serait-ce que 40 chiffres de \( \pi \) (figure 5)⁴?

Assurément, les partisans de \( \tau \) font face à un adversaire redoutable. Pourtant, nous avons un allié puissant, car la vérité est de notre côté.

2.1 Cercles et angles

Il y a une relation intime entre les cercles et les angles, comme le montre la figure 6. Puisque les cercles concentriques de la figure 6 ont des rayons différents, les droites de la figure coupent différentes longueurs d’arc, mais l’angle \( \theta \) (thêta) est le même dans chaque cas. En d’autres termes, la taille de l’angle ne dépend pas du rayon du cercle utilisé pour définir l’arc. La tâche principale d’une mesure d’angle est de créer un système qui capture cette invariance de rayon.

Figure 6: Un angle \( \theta \) avec deux cercles concentriques.

L’unité de mesure d’angle la plus élémentaire est peut-être le degré, qui divise un cercle en 360 parties égales. Un resultat de ce système est l’ensemble des angles spéciaux (familiers aux étudiants en trigonométrie) montrés sur la figure 7.

Figure 7: Des angles spéciaux, en degrés.

Un système plus fondamental de mesure d’angle implique une comparaison directe de la longueur d’arc \( s \) avec le rayon \( r \). Bien que les longueurs de la figure 6 diffèrent, la longueur de l’arc augmente proportionnellement au rayon, de sorte que le rapport de la longueur de l’arc au rayon est le même dans chaque cas :

Cela suggère la définition suivante de la mesure d’angle en radians:

Cette définition a la propriété requise d’invariance de rayon, et puisque \( s \) et \( r \) ont tous deux des unités de longueur, les radians sont sans dimension par construction. L’utilisation de la mesure d’angle en radians conduit à des formules succinctes et élégantes dans l’ensemble des mathématiques; par exemple, la formule habituelle pour la dérivée de \( \sin\theta \) n’est vraie que lorsque \( \theta \) est exprimé en radians :

Naturellement, les angles spéciaux de la figure 7 peuvent être exprimés en radians, et lorsque vous avez appris la trigonométrie au lycée, vous avez probablement mémorisé les valeurs spéciales indiquées sur la figure 8. (J’appelle ce système de mesure « radians-de-\( \pi \) » pour souligner qu’ils sont écrits en termes de \( \pi \).)

Figure 8: Des angles spéciaux, en radians-de-\( \pi \).

Figure 9: Les angles « spéciaux » représentés comme les fractions d’un cercle complet.

Un instant de réflexion montre que les angles dits « spéciaux » ne sont que des fractions rationnelles particulièrement simples d’un cercle complet, comme le montre la figure 9. Cela peut inspirer une révision de l’équation (4), en réécrivant la longueur d’arc \( s \) en termes de la fraction \( f \) de la circonférence complète \( C \), c’est-à-dire \( s = f C \) :

Vous remarquerez à quel point \( \tau \) ressort naturellement de cette analyse. Si vous croyez en \( \pi \), je crains que le diagramme des angles spéciaux (figure 10) qui résulte de la manipulation ci-dessus bouleverse votre foi profondément.

Figure 10: Des angles spéciaux, en radians.

Bien qu’il existe de nombreuses autres justifications en faveur de \( \tau \), la figure 10 est peut-être l’une des plus frappantes. On voit aussi dans la figure 10 le génie dont Bob Palais a fait preuve en identifiant la constante du cercle comme « un tour » : \( \tau \) est la mesure d’angle en radians d’un tour de cercle. De plus, on remarque qu’avec \( \tau \) il n’y a rien à mémoriser : un douzième de tour est \( \tau/12 \), un huitième de tour est \( \tau/8 \), et ainsi de suite. L’utilisation de \( \tau \) nous donne le meilleur des deux mondes en combinant clarté conceptuelle avec tous les avantages concrets des radians; la signification abstraite de, disons, \( \tau/12 \) est évidente, mais c’est aussi juste un nombre :

Enfin, en comparant la figure 8 à la figure 10, on voit d’où viennent ces fichus facteurs de 2\( \pi \) : un tour de cercle vaut 1\( \tau \), mais 2\( \pi \). Numériquement, ils sont égaux, mais conceptuellement, ils sont tout à fait distincts.

2.2 Les fonctions circulaires

La mesure d’angle en radians nous donne certains des arguments les plus convaincants pour la vraie constante du cercle. Mais les vertus de \( \pi \) et de \( \tau \) méritent également d’être comparées dans d’autres contextes. Considérons tout d’abord les fonctions élémentaires importantes \( \sin\theta \) et \( \cos\theta \). Appelées « fonctions circulaires » parce qu’elles donnent les coordonnées d’un point sur le cercle unité (c’est-à-dire un cercle de rayon 1), le sinus et le cosinus sont les fonctions fondamentales de la trigonométrie (figure 11).

Figure 11: Les fonctions circulaires sont des coordonnées sur le cercle unité.

Examinons les graphiques des fonctions circulaires pour mieux comprendre leur comportement⁶. On remarque sur la figure 12 et la figure 13 que les deux fonctions sont périodiques de période \( T \). Comme le montre la figure 12, la fonction sinus \( \sin\theta \) commence à zéro, atteint son maximum à un quart de période, passe par zéro à une demi-période, atteint son minimum aux trois quarts de période, puis revient à zéro après une période complète. Pendant ce temps, la fonction cosinus \( \cos\theta \) commence à son maximum, atteint son minimum à une demi-période, puis passe par zéro à un quart et trois quarts de période (figure 13). À titre de référence, les deux figures montrent la valeur de \( \theta \) (en radians) à chaque point spécial.

Figure 12: Points importants pour \( \sin\theta \) en termes de période \( T \).

Figure 13: Points importants pour \( \cos\theta \) en termes de période \( T \).

Bien sûr, puisque le sinus et le cosinus passent tous les deux par un cycle complet pendant un tour du cercle, on a \( T = \tau \); c’est-à-dire que les fonctions circulaires ont des périodes égales à la constante du cercle. Par conséquent, les valeurs « spéciales » de \( \theta \) sont tout à fait naturelles : un quart de période est \( \tau/4 \), une demi-période est \( \tau/2 \), etc. En fait, en traçant la figure 12, à un moment donné, je me suis retrouvé à me demander quelle était la valeur numérique de \( \theta \) pour le zéro de la fonction sinus. Puisque le zéro se produit après une demi-période et \( \tau \approx 6{,}28 \), un calcul mental rapide a conduit au résultat suivant :

Eh oui : j’étais étonné de découvrir que j’avais déjà oublié que \( \tau/2 \) était parfois appelé « \( \pi \) ». Peut-être même que cela vient de vous arriver. Bienvenue au club.

2.3 L’identité d’Euler

Je serais négligent de ne pas aborder dans ce manifeste l’identité d’Euler, parfois appelée « la plus belle des équations mathématiques ». Cette identité emploie l’exponentiation complexe, qui est profondément liée à la fois aux fonctions circulaires et à la géométrie du cercle lui-même.

Selon l’approche choisie, l’équation suivante peut être prouvée comme théorème ou prise comme définition; dans un cas comme dans l’autre, elle est vraiment remarquable :

Connue sous le nom de formule d’Euler (d’après Leonhard Euler), cette équation relie une exponentielle à argument imaginaire aux fonctions circulaires (sinus et cosinus) et à l’unité imaginaire \( i \). Bien que justifier la formule d’Euler dépasse le cadre de ce manifeste, sa provenance est au-dessus de tout soupçon et son importance est incontestable.

L’évaluation de l’équation (6) à \( \theta = \tau \) nous donne

qu’on simplifie en l’identité d’Euler⁷ :

En toutes lettres, l’équation (8) fait l’observation fondamentale suivante :

Géométriquement, la multiplication par \( e^{i\theta} \) correspond à la rotation d’un nombre complexe d’un angle \( \theta \) dans le plan complexe, ce qui suggère une seconde interprétation de l’identité d’Euler :

Puisque le nombre \( 1 \) est l’identité multiplicative, la signification géométrique de \( e^{i\tau} = 1 \) est que la rotation d’un point du plan complexe par un tour le ramène simplement à sa position d’origine.

Comme dans le cas de la mesure d’angle en radians, on voit à quel point l’association entre \( \tau \) et le tour d’un cercle est naturelle. En effet, relier \( \tau \) avec « un tour » fait que l’identité d’Euler ressemble presque à une tautologie.

Identités eulériennes

Puisque l’on peut ajouter zéro n’importe où dans n’importe quelle équation, l’introduction de \( 0 \) dans l’équation (12) est un contrepoint quelque peu taquin à \( e^{i\pi} + 1 = 0 \); mais l’identité \( e^{i\pi} = -1 \) a un argument plus sérieux à faire valoir. Voyons ce qui se passe quand on la réécrit en termes de \( \tau \) :

\[ e^{i\tau /2} = -1. \]

Géométriquement, cela signifie qu’une rotation d’un demi-tour équivaut à une multiplication par \( -1 \). Et, en effet, c’est le cas : sous une rotation de \( \tau/2 \) radians, le nombre complexe \( z = a + ib \) est caractérisé par \( -a - ib \), qui est en fait juste \( -1\cdot z \).

Écrite en termes de \( \tau \), on voit que la forme « originale » de l’identité d’Euler (équation (10)) a une signification géométrique transparente qui lui fait défaut lorsqu’elle est écrite en termes de \( \pi \). (Bien sûr, \( e^{i\pi} = -1 \) peut être interprété comme une rotation par \( \pi \) radians, mais le réarrangement quasi-universel pour former \( e^{i\pi} + 1 = 0 \) montre comment l’utilisation de \( \pi \) nous distrait de la signification géométrique naturelle de l’identité.) Les identités en quart d’angle ont des interprétations géométriques similaires : en évaluant l’équation (6) à \( \tau/4 \), on obtient \( e^{i\tau/4} = i \), ce qui montre qu’un quart de tour dans le plan complexe équivaut à une multiplication par \( i \); de même, \( e^{i\cdot(3\tau/4)} = -i \) dit que les trois quarts de tour équivalent à la multiplication par \( -i \). Un résumé de ces résultats, que l’on appellera les identités eulériennes, figure dans le tableau 1.

Angle de rotation	Identité eulérienne
\( 0 \)	\( e^{i\cdot0} \)	\( = \)	\( 1 \)
\( \tau/4 \)	\( e^{i\tau/4} \)	\( = \)	\( i \)
\( \tau/2 \)	\( e^{i\tau/2} \)	\( = \)	\( -1 \)
\( 3\tau/4 \)	\( e^{i\cdot(3\tau/4)} \)	\( = \)	\( -i \)
\( \tau \)	\( e^{i\tau} \)	\( = \)	\( 1 \)

Tableau 1: Identités eulériennes pour les rotations d’un demi, d’un quart et complète.

On peut pousser cette analyse un peu plus loin en notant que, pour n’importe quel angle \( \theta \), \( e^{i\theta} \) peut être interprété comme un point situé sur le cercle unité dans le plan complexe. Puisque le plan complexe associe l’axe horizontal avec la partie réelle du nombre et l’axe vertical avec la partie imaginaire, la formule d’Euler indique que \( e^{i\theta} \) correspond aux coordonnées \( (\cos\theta,\sin\theta) \). Remplacer celles-ci dans l’équation (6) par les valeurs des angles « spéciaux » de la figure 10 nous donne ensuite les points indiqués dans le tableau 2, et le traçage de ces points dans le plan complexe nous donne la figure 14. Une comparaison de la figure 14 avec la figure 10 dissipe rapidement tout doute quant à celle des constantes du cercle qui révèle le mieux la relation entre la formule d’Euler et la géométrie du cercle.

Forme polaire	Forme cartésienne	Coordonnées
\( e^{i\theta} \)	\( \cos\theta + i\sin\theta \)	\( (\cos\theta, \sin\theta) \)
\( e^{i\cdot0} \)	\( 1 \)	\( (1, 0) \)
\( e^{i\tau/12} \)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \)	\( (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \)
\( e^{i\tau/8} \)	\( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \)	\( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \)
\( e^{i\tau/6} \)	\( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} i \)	\( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( e^{i\tau/4} \)	\( i \)	\( (0, 1) \)
\( e^{i\tau/3} \)	\( -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} i \)	\( (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( e^{i\tau/2} \)	\( -1 \)	\( (-1, 0) \)
\( e^{i\cdot(3\tau/4)} \)	\( -i \)	\( (0, -1) \)
\( e^{i\tau} \)	\( 1 \)	\( (1, 0) \)

Tableau 2: Exponentielles complexes des angles spéciaux de la figure 10.

Figure 14: Exponentielles complexes de certains angles spéciaux.

3.1 Formes quadratiques

Examinons cet exemple supposément parfait de \( \pi \), \( A = \pi r^2 \). On remarque qu’il implique le rayon élevé à la deuxième puissance. Cela en fait une forme quadratique simple. Ces formes surviennent dans de nombreux contextes; je suis physicien, donc mes exemples préférés viennent du cursus de physique fondamentale. Nous allons maintenant en considérer plusieurs successivement.

3.2 Un sentiment d’appréhension

Après avoir vu plusieurs exemples de formes quadratiques simples en physique, peut-être appréhendez-vous maintenant de retourner à la géométrie du cercle. Ce sentiment est justifié.

Figure 15: Décomposer un cercle en anneaux.

Comme le montre la figure 15, on peut calculer la superficie d’un cercle en le décomposant en anneaux circulaires de longueur \( C \) et de largeur \( dr \), où la superficie de chaque anneau est \( C\,dr \) :

La circonférence d’un cercle est proportionnelle à son rayon :

La constante de proportionnalité est \( \tau \) :

La superficie du cercle est alors l’intégrale sur tous les anneaux :

Si vous étiez encore partisan de \( \pi \) au début de cette section, votre tête vient d’exploser. Car on voit que même dans ce cas, où \( \pi \) soi-disant brille, il manque en fait un facteur de \( 2 \). En effet, la démonstration originale d’Archimède montre non pas que la superficie d’un cercle est \( \pi r^2 \), mais qu’elle est égale à la superficie d’un triangle rectangle de base \( C \) et de hauteur \( r \). L’application de la formule de la superficie d’un triangle nous donne alors

Il est tout simplement impossible d’éviter ce facteur d’un demi (tableau 3).

4.1 Un tour

La véritable épreuve de toute notation est l’usage. Ayant vu \( \tau \) utilisé tout au long de ce manifeste, vous êtes peut-être déjà convaincu qu’il remplit bien son rôle. Mais pour une constante aussi fondamentale que \( \tau \), il serait bien d’avoir des raisons plus profondes pour ce choix. Pourquoi pas \( \alpha \), par exemple, ou \( \omega \)? Qu’est-ce que \( \tau \) a de si génial?

Il y a deux raisons principales d’utiliser \( \tau \) pour la constante du cercle. La première est que \( \tau \) ressemble visuellement à \( \pi \) : après des siècles d’utilisation, l’association de \( \pi \) à la constante du cercle est inévitable, et l’utilisation de \( \tau \) se nourrit de cette association au lieu de la combattre. (En effet, la ligne horizontale dans chaque lettre suggère que l’on interprète les « jambes » comme des dénominateurs, de sorte que \( \pi \) a deux jambes dans son dénominateur, tandis que \( \tau \) n’en a qu’une. Vu de cette façon, la relation \( \tau = 2\pi \) est parfaitement naturelle¹⁰.)

La seconde raison est que \( \tau \) correspond à un tour d’un cercle, et vous avez peut-être remarqué que « \( \tau \) » et « tour » (en anglais, turn) commencent tous les deux par le son « t ». C’était la motivation d’origine du choix de \( \tau \), et ce n’est pas un hasard : la racine du mot anglais turn est le mot grec τόρνος (tornos), qui signifie « tour » (machine-outil). L’utilisation d’une police mathématique pour la première lettre de τόρνος nous donne alors : \( \tau \).

Depuis le premier lancement du Manifeste de tau, j’ai appris que Peter Harremoës avait proposé de manière indépendante d’utiliser \( \tau \) à l’auteur de « \( \pi \) Is Wrong! », Bob Palais, en 2010; John Fisher avait proposé \( \tau \) dans un post Usenet en 2004; et Joseph Lindenberg avait anticipé à la fois l’argument et le symbole plus de vingt ans auparavant¹¹! Le Dr Harremoës en particulier a souligné l’importance d’un point qui a été soulevé pour la première fois dans la section 1.1 : l’utilisation de \( \tau \) donne un nom à la constante du cercle. Puisque \( \tau \) est une lettre grecque ordinaire, les personnes qui la rencontrent pour la première fois peuvent la prononcer immédiatement. De plus, au lieu d’appeler la constante du cercle un « tour », \( \tau \) fonctionne bien à la fois dans des contextes écrits et parlés. Par exemple, dire qu’un quart de cercle a une mesure d’angle en radians d’« un quart de tour » sonne bien, mais « un tour sur quatre radians » semble maladroit et « la superficie d’un cercle est d’un demi-tour \( r \) au carré » semble carrément bizarre. En utilisant \( \tau \), on peut dire « tau sur quatre radians » et « la superficie d’un cercle est d’un demi tau \( r \) au carré ».

4.2 Le Manifeste de pi

Bien que la plupart des objections à \( \tau \) proviennent d’une correspondance électronique dispersée et de divers commentaires sur le Web, il existe aussi une résistance organisée. En particulier, après la publication du Manifeste de tau en juin 2010, un « Manifeste de pi » est apparu pour plaider en faveur de la constante traditionnelle du cercle. Cette section et les deux suivantes contiennent une réfutation de ses arguments¹⁷. Par nécessité, ce traitement est plus succinct et plus avancé que le reste du manifeste, mais même une lecture superficielle de ce qui suit donnera une impression de la faiblesse des justifications du Manifeste de pi.

Bien que l’on puisse certainement considérer son apparition comme un bon signe d’intérêt continu pour ce sujet, Le Manifeste de pi fait plusieurs fausses affirmations. Par exemple, il est écrit que le facteur de \( 2\pi \) dans la loi gaussienne (normale) est une coïncidence, et qu’il peut plus naturellement s’écrire comme

C’est faux : le facteur de \( 2\pi \) vient de l’élévation au carré de la loi gaussienne non normalisée et du passage aux coordonnées polaires, ce qui conduit à un facteur de 1 par l’intégrale radiale, et de \( 2\pi \) par l’intégrale angulaire. Comme dans le cas de la superficie du cercle, le facteur de \( \pi \) vient de \( 1/2\times 2\pi \), pas de \( \pi \) seul.

Une affirmation connexe est que la fonction gamma évaluée à \( 1/2 \) est plus naturelle en termes de \( \pi \) :

où

Mais \( \Gamma(\frac{1}{2}) \) se réduit à la même intégrale gaussienne que dans la loi normale (quand on pose \( u = x^{1/2} \)), donc \( \pi \) dans ce cas est aussi en fait \( 1/2\times 2\pi \). En effet, dans de nombreux cas cités dans Le Manifeste de pi, la constante du cercle entre par une intégrale sous tous les angles, c’est-à-dire comme \( \theta \) varie de \( 0 \) à \( \tau \).

Le Manifeste de pi examine aussi certaines formules pour des polygones réguliers à \( n \) côtés (ou « \( n \)-gones »). Par exemple, on y remarque que la somme des angles internes d’un \( n \)-gone nous est donnée par

Ce problème a été traité dans « \( \pi \) Is Wrong! », où on observe ce qui suit : « La somme des angles intérieurs [d’un triangle] est \( \pi \), c’est vrai. Mais la somme des angles extérieurs de tout polygone, dont la somme des angles intérieurs peut facilement être dérivée, et qui se généralise à l’intégrale de la courbure d’une simple courbe fermée, est de \( 2\pi \). » Le Manifeste de pi offre ensuite la formule de la superficie d’un \( n \)-gone avec un rayon unité (la distance du centre au sommet),

et l’appelle « clairement… une autre victoire pour \( \pi \) ». Mais l’utilisation de la formule de l’angle double \( \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta \) montre que l’on peut écrire ceci comme

ce qui est juste

En d’autres termes, la superficie d’un \( n \)-gone a un facteur naturel de \( 1/2 \). En fait, prendre la limite de l’équation (17) lorsque \( n\rightarrow \infty \) (et appliquer la règle de L’Hôpital) nous donne la superficie d’un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1 avec une infinité de côtés, c’est-à-dire un cercle unité :

Dans ce contexte, il convient de remarquer que Le Manifeste de pi fait toute une histoire du fait que \( \pi \) est la superficie d’un disque unité, de sorte que (par exemple) la superficie d’un quart de cercle (unité) est \( \pi/4 \). Ceci, prétend-on, est un tout aussi bon plaidoyer pour \( \pi \) que la mesure d’angle en radians l’est pour \( \tau \). Malheureusement pour cet argument, comme remarqué dans la section 3 et comme on le voit à nouveau dans l’équation (18), le facteur de \( 1/2 \) apparaît naturellement dans le contexte de la superficie du cercle. En effet, la formule de la superficie d’un secteur circulaire sous-tendu par l’angle \( \theta \) est

donc il n’y a aucun moyen d’éviter le facteur de \( 1/2 \) en général. (On voit donc que \( A = \frac{1}{2}\tau r^2 \) est simplement le cas particulier où \( \theta = \tau \).)

En bref, la différence entre la mesure d’angle et la superficie n’est pas arbitraire. Il n’y a pas de facteur naturel de \( 1/2 \) dans le cas de la mesure d’angle. En revanche, dans le cas de la superficie, le facteur de \( 1/2 \) résulte de l’intégrale d’une fonction linéaire en association avec une forme quadratique simple. En fait, la défense de \( \pi \) est encore pire qu’il n’y paraît, comme le montre la section suivante.

5.1 Superficie et volume d’une hypersphère

Nous commençons nos recherches par la généralisation d’un cercle à des dimensions arbitraires. Cet objet, appelé hypersphère, peut-être défini comme suit. (Par commodité, on suppose que ces sphères sont centrées sur l’origine.) Une \( 0 \)-sphère est l’ensemble de tous les points qui satisfont

qui se compose des deux points \( \pm r \). Ces points forment la frontière d’une \( 1 \)-boule fermée, qui est l’ensemble de tous les points qui satisfont

C’est le segment de droite de \( -r \) à \( r \); de manière équivalente, c’est l’intervalle clos [\( -r \), \( r \)].

Une \( 1 \)-sphère est un cercle, qui est l’ensemble de tous les points qui satisfont

Cette figure forme la frontière d’une \( 2 \)-boule, qui est l’ensemble de tous les points qui satisfont

C’est un disque fermé de rayon \( r \). Ainsi, nous constatons que la « superficie d’un cercle » est en fait plutôt la superficie d’une \( 2 \)-boule. De même, une \( 2 \)-sphère (appelée simplement une « sphère ») est l’ensemble de tous les points qui satisfont

qui est la frontière d’une \( 3 \)-boule, définie comme l’ensemble de tous les points qui satisfont

La généralisation à \( n \) arbitraire, bien que difficile à visualiser pour \( n > 3 \), est simple : une \( (n-1) \)-sphère est l’ensemble de tous les points qui satisfont

qui forme la frontière de la \( n \)-boule correspondante, définie comme l’ensemble de tous les points qui satisfont

Le « volume d’une hypersphère » de dimension \( n-1 \) est donc défini comme le volume \( V_n(r) \) de la boule \( n \)-dimensionnelle correspondante. Il s’obtient en intégrant la superficie \( A_{n-1}(r) \) à chaque rayon via \( V_n(r) = \int A_{n-1}(r)\,dr \).

Nous nous référerons parfois à \( A_{n-1} \) comme à la superficie d’une boule \( n \)-dimensionnelle, mais, strictement parlant, c’est en fait la superficie de la frontière de la boule, qui est elle-même simplement une sphère \( (n-1) \)-dimensionnelle. Les indices dans \( V_n \) et \( A_{n-1} \) sont choisis de telle sorte qu’ils soient toujours en accord avec l’objet géométrique correspondant ¹⁸. Par exemple, le cas \( n = 2 \) correspond à un disque (dimensionnalité \( 2 \)) et un cercle (dimensionnalité \( 2 - 1 = 1 \)). Alors \( V_2 \) est le « volume » d’une \( 2 \)-boule (c’est-à-dire la superficie d’un disque, communément appelée la « superficie d’un cercle »), et \( A_{2-1} = A_1 \) est la « superficie » d’une \( 1 \)-sphère (c’est-à-dire la circonférence d’un cercle). Quand vous avez un doute, souvenez-vous juste que \( n \) fait toujours référence à la dimensionnalité de la boule, et que \( n-1 \) fait référence à sa frontière.

Le Manifeste de pi (qu’on mentionne dans la section 4.2) inclut une formule pour le volume d’une \( n \)-boule unité comme argument en faveur de \( \pi \) :

où la fonction gamma nous est donnée par l’équation (16). L’équation (19) est un cas particulier de la formule du rayon général, qui est aussi généralement écrite en termes de \( \pi \) :

Parce que \( V_n(r) = \int A_{n-1}(r)\,dr \), on a \( A_{n-1}(r) = dV_n(r)/dr \), ce qui signifie que la superficie peut s’écrire comme suit :

Plutôt que de simplement prendre ces formules pour argent comptant, voyons si l’on peut les démêler pour mieux éclairer la question de \( \pi \) vs \( \tau \). Nous commençons notre analyse en notant que l’apparente simplicité des formules ci-dessus est une illusion : bien que la fonction gamma soit simple sur le plan de la notation, c’est en fait une intégrale sur un domaine semi-infini (équation (16)), ce qui n’est pas du tout une idée simple. Heureusement, on peut simplifier la fonction gamma dans certains cas particuliers. Par exemple, lorsque \( n \) est un entier, il est simple de montrer (en utilisant l’intégration par parties) que

Vu de cette façon, on peut interpréter \( \Gamma(x) \) comme une généralisation de la fonction factorielle à des arguments à valeurs réelles¹⁹.

Dans les formules de superficie et de volume à \( n \) dimensions, l’argument de \( \Gamma \) n’est pas nécessairement un entier, mais plutôt \( \left(1 + \frac{n}{2}\right) \), qui est un entier lorsque \( n \) est pair est un demi-entier lorsque \( n \) est impair. En tenant compte de cela, on obtient l’expression suivante, qui est adaptée d’une référence standard, Wolfram MathWorld, et comme d’habitude est écrite en termes de \( \pi \) :

(Ici, nous écrivons \( A_{n-1} \) là où MathWorld utilise \( S_n \).) L’intégration par rapport à \( r \) nous donne alors

Examinons l’équation (23) plus en détail. On remarque tout d’abord que MathWorld utilise la double factorielle \( n!! \); mais, étrangement, il ne l’utilise que dans le cas impair. (Ceci est un soupçon de choses à venir.) La double factorielle, bien que rarement rencontrée en mathématiques, est élémentaire : elle est comme la fonction normale factorielle, mais implique de soustraire \( 2 \) à la fois au lieu de \( 1 \), de sorte que, par exemple, \( 5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 \) et \( 6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 \). En général, on a

(Par définition, \( 0!! =1!! = 1 \).) On remarque que l’équation (24) se divise naturellement en cas pairs et impairs, ce qui rend encore plus mystérieuse la décision de MathWorld de l’utiliser uniquement dans le cas impair.

Pour résoudre ce mystère, on commence par regarder de plus près la formule pour \( n \) impair dans l’équation (23) :

En examinant l’expression

on remarque que l’on peut la réécrire comme

et ici nous reconnaissons notre vieil ami \( 2\pi \).

Examinons maintenant le cas pair dans l’équation (23). On a remarqué plus haut combien il est étrange d’utiliser la factorielle ordinaire dans le cas pair mais la double factorielle dans le cas impair. En effet, puisque la double factorielle est déjà définie par morceaux, si l’on unifiait les formules en utilisant \( n!! \) dans les deux cas, on pourrait le retirer comme un facteur commun :

Alors, y a-t-il un lien entre la factorielle et la double factorielle? Oui : lorsque \( n \) est pair, les deux sont liés par l’identité suivante :

(Ceci est vérifiable en utilisant le raisonnement par récurrence.) La substitution de ceci dans la formule de volume pour \( n \) pair dans l’équation (23) nous donne alors

ce qui ressemble beaucoup à

et là encore on trouve un facteur de \( 2\pi \).

En rassemblant ces résultats, on voit que l’on peut réécrire l’équation (23) comme

et l’équation (22) comme

Faire la substitution \( \tau=2\pi \) dans l’équation (26) nous donne alors

Pour unifier davantage les formules, on peut utiliser la fonction partie entière \( \lfloor x \rfloor \), qui est tout simplement le plus grand entier inférieur ou égal à \( x \) (équivalent à couper la partie fractionnaire, de sorte que, par exemple, \( \lfloor 3{,}7 \rfloor = \lfloor 3{,}2 \rfloor = 3 \)). Cela nous donne

ce qui permet d’écrire la formule comme suit :

L’intégration de l’équation (27) par rapport à \( r \) nous donne alors

Remarquez que, contrairement à la fausse simplicité de l’équation (20), qui cache énormément de complexité dans la fonction \( \Gamma \), l’équation (28) n’implique pas d’intégrales compliquées; juste les fonctions partie entière et double factorielle ; légèrement exotiques, mais élémentaires ²⁰.

Récurrences

On a maintenant vu, via l’équation (27) et l’équation (28), que les formules de superficie et de volume se divisent naturellement en deux familles, qui correspondent respectivement aux espaces à dimensions paires et impaires. Cela signifie que la superficie d’une boule à quatre dimensions, \( A_{4-1} = A_3 \), est liée simplement à \( A_1 \) mais pas à \( A_2 \), tandis que \( A_2 \) est lié à \( A_0 \) mais pas à \( A_1 \) (et de même pour \( V_4 \) et \( V_2 \), etc.). Comment sont-elles liées, en fait?

On peut trouver la réponse en dérivant les relations de récurrence entre les dimensions. En particulier, divisons la superficie d’une boule à \( n \) dimensions par la superficie d’une boule à (\( n-2 \)) dimensions :

\begin{equation} \label{eq:surface_area_recurrence} \begin{aligned}[b] \frac{A_{n-1}(r)}{A_{(n - 2) - 1}(r)} & = \frac{\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{\tau^{\left\lfloor \frac{n-2}{2} \right\rfloor}} \frac{(n-2-2)!!}{(n-2)!!} \frac{r^{n-1}}{r^{n-3}} \\ \\ & = \frac{\tau}{n-2}\,r^2. \end{aligned} \end{equation}

On remarque que les constantes différentes pour les \( n \) pairs et impairs s’annulent, éliminant ainsi toute dépendance envers la parité. De même, pour le rapport des volumes, on obtient :

\begin{equation} \label{eq:volume_recurrence} \begin{aligned}[b] \frac{V_n(r)}{V_{n-2}(r)} & = \frac{\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{\tau^{\left\lfloor \frac{n-2}{2} \right\rfloor}} \frac{(n-2)!!}{n!!} \frac{r^{n}}{r^{n-2}} \\ \\ & = \frac{\tau}{n}\,r^2. \end{aligned} \end{equation}

On voit dans l’équation (29) et l’équation (30) que l’on peut obtenir le volume d’une \( n \)-boule simplement en multipliant la formule pour une \( (n-2) \)-boule par \( r^2 \) (un facteur requis par l’analyse dimensionnelle), en la divisant par \( n-2 \) ou \( n \), respectivement, et en la multipliant par \( \tau \). Par conséquent, c’est \( \tau \) qui fournit le fil conducteur qui relie les deux familles de solutions paires et impaires, comme l’illustre Joseph Lindenberg sur Tau avant que ce soit cool ²¹(figure 16) ²².

Figure 16: Récurrences de superficie et de volume.

5.2 Trois familles de constantes

Équipé des outils développés dans la section 5.1, on est maintenant prêt à faire la lumière sur \( \pi \) et \( \tau \). Pour terminer les fouilles, on utilisera l’équation (27) et l’équation (28) pour définir deux familles de constantes, puis on utilisera la définition de \( \pi \) (équation (1)) pour en définir une troisième, révélant ainsi exactement ce qui ne va pas avec \( \pi \).

Tout d’abord, on définira une famille de « constantes de superficie » \( \tau_{n-1} \) en divisant l’équation (27) par \( r^{n-1} \), la puissance de \( r \) nécessaire pour produire une constante sans dimension pour chaque valeur de \( n \) :

Deuxièmement, on définira une famille de « constantes de volume » \( v_n \) en divisant la formule de volume, l’équation (28), par \( r^n \), produisant à nouveau une constante sans dimensions pour chaque valeur de \( n \) :

Avec les deux familles de constantes définies dans l’équation (31) et l’équation (32), on peut écrire les formules de superficie et de volume (équation (27) et équation (28)) de manière compacte comme suit :

et

En raison de la relation \( V_n(r) = \int A_{n-1}(r)\,dr \), on a le rapport simple

Faisons quelques observations sur ces deux familles de constantes. La famille \( \tau_{n-1} \) a une signification géométrique importante : en posant \( r=1 \) dans l’équation (31), on voit que chaque \( \tau_{n-1} \) est la superficie d’une \( (n-1) \)-sphère unité, ce qui est aussi la mesure d’angle d’une \( (n-1) \)-sphère complète. En particulier, en écrivant \( s_{n-1}(r) \) comme la « longueur d’arc » à \( (n-1) \) dimensions égale à une fraction \( f \) de la superficie totale \( A_{n-1}(r) \), on a l’équivalent exact de l’équation (5) en \( n \) dimensions :

Ici, \( \theta_{n-1} \) est simplement la généralisation à \( n \) dimensions de la mesure d’angle en radians (où, comme d’habitude, \( n \) fait référence à la dimensionnalité de la boule correspondante), et on voit que \( \tau_{n-1} \) est la généralisation d’« un tour » à \( n \) dimensions. Dans le cas particulier où \( n=2 \), on obtient la \( 1 \)-sphère (la constante du cercle) \( \tau_{2-1} = \tau_1 = \tau \), ce qui conduit naturellement au diagramme illustré en figure 10.

Parallèlement à cela, les \( v_n \) sont les volumes des \( n \)-boules unité. En particulier, \( v_2 \) est la superficie d’un disque unité :

Cela montre que \( v_2 = \tau/2 = 3.14159\ldots \) a bien une signification géométrique indépendante. On constate cependant que cela n’a rien à voir avec les circonférences ou les diamètres. En d’autres termes, \( \pi = C/D \) n’est pas membre de la famille \( v_n \).

Alors, à quelle famille de constantes appartient naturellement \( \pi \)? Reformulons l’équation (1) en termes plus appropriés pour la généralisation à des dimensions supérieures :

On voit ainsi que \( \pi \) est naturellement associé à des superficies divisées par la puissance du diamètre nécessaire pour donner une constante sans dimension. Cela suggère d’introduire une troisième famille de constantes \( \pi_n \) :

On peut exprimer cela en termes de famille \( \tau_{n-1} \) en substituant \( D = 2r \) dans l’équation (33) et en appliquant l’équation (31) :

Et l’on est enfin en mesure de comprendre exactement ce qui ne va pas avec \( \pi \). La signification géométrique principale de \( 3{,}141\,59\ldots \) est qu’il est la superficie d’un disque unité. Mais ce nombre provient de l’évaluation de \( v_n = \tau_{n-1}/n \) lorsque \( n=2 \) :

Il se trouve que cela est égal à \( \pi_1 \), c’est vrai :

Mais cette égalité est une coïncidence : elle ne se produit que parce qu’il se trouve que \( 2^{n-1} \) est égal à \( n \) lorsque \( n=2 \) (c’est-à-dire \( 2^{2-1} = 2 \)). Dans toutes les dimensions supérieures, \( n \) et \( 2^{n-1} \) sont distincts. En d’autres termes, la signification géométrique de \( \pi \) est le résultat d’un jeu de mots mathématique.

6.1 Questions fréquemment posées

• Êtes-vous sérieux? Bien sûr. Je veux dire, c’est un projet sympa, et le ton est parfois léger, mais il y a un but sérieux. Établir la constante du cercle comme la circonférence divisée par le diamètre est une convention maladroite et déroutante. Bien que j’aimerais vraiment voir les mathématiciens changer leurs habitudes, je ne suis pas particulièrement inquiet pour eux; ils peuvent prendre soin d’eux-mêmes. Ce sont les néophytes qui m’inquiètent le plus, car ils subissent de plein fouet les dommages causés par ce choix : comme indiqué dans la section 2.1, \( \pi \) est un désastre pédagogique. Essayez d’expliquer à un enfant de douze ans (ou à un trentenaire) pourquoi la mesure d’angle d’un huitième de cercle (une tranche de pizza) est \( \pi/8 \). Non, attends, \( \pi/4 \). Vous voyez ce que je veux dire? C’est de la folie… de la folie pure.
• Comment passer de \( \pi \) à \( \tau \)? La prochaine fois que vous avez besoin de la constante du cercle à l’écrit, dites simplement « Par commodité, on définit \( \tau=2\pi \) », puis procédez comme d’habitude. (Bien sûr, cela pourrait bien conduire à la question : « Mais pourquoi faire ça? » Et j’admets qu’il serait bien de pouvoir les diriger quelque part. Si seulement quelqu’un écrivait, disons, un manifeste sur le sujet…) Commencez à utiliser \( \tau \) vous-même, si vous voulez pousser les gens à commencer à l’utiliser.
• N’est-il pas trop tard pour faire l’échange? Ne faudrait-il pas réécrire tous les manuels et articles mathématiques? Non, et non. Il est vrai que certaines conventions, bien que regrettables, sont en réalité irréversibles. Par exemple, le choix de Benjamin Franklin pour les signes des charges électriques conduit à l’exemple familier du courant électrique (c’est-à-dire, les électrons libres dans les métaux) étant positif lorsque les porteurs de charge sont négatifs, et vice versa; maudissant les étudiants débutants en physique à être confus par des signes négatifs depuis lors²³. Pour changer cette convention, il faudrait bel et bien réécrire tous les manuels (et brûler les anciens) car il est impossible de dire d’un coup d’œil quelle convention est utilisée. En revanche, alors que la redéfinition de \( \pi \) est effectivement impossible, nous pouvons passer de \( \pi \) à \( \tau \) à la volée en utilisant la conversion
  \[ \pi \leftrightarrow \textstyle{\frac{1}{2}}\tau. \]

  C’est purement une question de substitution mécanique, complètement robuste et, d’ailleurs, entièrement réversible. Le passage de \( \pi \) à \( \tau \) peut donc se faire de manière incrémentale; contrairement à une redéfinition, il n’est pas nécessaire de le faire d’un seul coup.

• L’utilisation de \( \tau \) ne va-t-elle pas porter à confusion, en particulier pour les étudiants? Si l’on est assez intelligent pour comprendre la mesure d’angle en radians, on est assez intelligent pour comprendre \( \tau \); et pourquoi \( \tau \) est en fait plus intuitif que \( \pi \). Et il n’y a rien d’insolite en soi dans l’énoncé « Soit \( \tau=2\pi \) »; d’un point de vue limité, c’est juste une simple substitution. Enfin, nous pouvons saisir la situation comme une opportunité d’enseignement : l’idée que \( \pi \) pourrait être faux est intéressante, et les élèves peuvent s’investir dans le cursus en convertissant les équations de leurs manuels de \( \pi \) à \( \tau \) pour voir par eux-mêmes quel choix est le meilleur.
• Est-ce vraiment si important? Bien sûr, c’est important. La constante du cercle est importante. Les gens se sentent assez concernés pour écrire des livres entiers sur le sujet, pour la célébrer un jour par an et pour mémoriser des dizaines de milliers de ses chiffres. Je me sens assez concerné pour écrire un manifeste entier, et vous vous sentez assez concerné pour le lire. C’est précisément parce que c’est important qu’il est difficile d’admettre que la convention actuelle est mauvaise. (Je veux dire, comment expliquer à Rajveer Meena, le détenteur d’un record du monde, qu’il vient de réciter 70 000 chiffres d’une moitié de la vraie constante du cercle?) Puisque la constante du cercle est importante, il est important qu’elle soit juste, et nous avons vu dans ce manifeste que le nombre juste est \( \tau \). Bien que \( \pi \) soit d’une grande importance historique, la signification mathématique de \( \pi \) est que c’est la moitié de \( \tau \).
• Mais pourquoi a-t-on utilsé \( \pi \) en premier lieu? Les origines des \( \pi \)-le-nombre se sont perdues dans la nuit des temps. Je soupçonne que la convention d’utiliser \( C/D \) au lieu de \( C/r \) est née simplement du fait qu’il est plus facile de mesurer le diamètre d’un objet circulaire que de mesurer son rayon. Mais cela n’en fait pas une bonne pratique mathématique, et je suis surpris qu’Archimède, qui est connu pour avoir approximé la constante du cercle, n’ait pas réalisé que \( C/r \) était le nombre le plus fondamental des deux. En tant que notation, \( \pi \) a été popularisé il y a environ 300 ans par Leonhard Euler, d’après les travaux de William Jones. Par exemple, dans Introductio in analysin infinitorum, Euler definit \( \pi \) alternativement comme la semicircumference (semi-circonférence) d’un cercle unité ou la longueur d’un arc de \( 180^\circ \)²⁴. Malheureusement, Euler n’explique pas pourquoi il introduit ce facteur de \( 1/2 \), mais il se peut que ce soit lié à l’importance occasionnelle du semi-périmètre d’un polygone. En tout cas, il note immédiatement que le sinus et cosinus sont de période \( 2\pi \), donc il était évidemment capable de voir qu’il mesurait les angles en termes de deux fois la période des fonctions circulaires, ce qui rend son choix d’autant plus déconcertant. Il y était presque, pourtant : assez incroyablement, Euler a en fait utilisé le symbole \( \pi \) pour signifier à la fois \( 3.14\ldots \) et \( 6.28\ldots \) à des moments différents²⁵! Quel dommage qu’il n’ait pas standardisé le choix le plus pratique.
• Pourquoi êtes-vous intéressé par ce sujet? Primo, en tant que chercheur de vérité, je recherche des explications exactes. Secundo, en tant que professeur, je recherche des présentations claires. Tertio, en tant que hacker, j’aime les bonnes astuces. Quarto, en tant qu’étudiant en histoire et en nature humaine, je trouve fascinant que l’absurdité de \( \pi \) soit restée clairement visible pendant des siècles avant que quelqu’un la remarque. De plus, beaucoup de ceux qui ont loupé la vraie constante du cercle sont parmi les personnes les plus rationnelles et intelligentes à avoir jamais vécu. Quoi d’autre pourrait se cacher sous notre nez, à attendre juste d’être découvert?
• Êtes-vous, genre, un fou? Premièrement, ce n’est pas de vos affaires. Deuxièmement, non. C’est vrai que j’ai mes particularités (comme la plupart des gens), mais je suis, par mon aspect extérieur, pratiquement normal à tous égards. On ne devinerait jamais, à me voir, que, loin d’être un citoyen ordinaire, je suis en fait un propagandiste mathématique notoire.
• Mais, et les jeux de mots? Nous arrivons maintenant à la dernière objection. Je sais, je sais, « deux abbés sur deux \( \pi \)erres carrées », c’est tellement malin. Pourtant, \( \tau \) lui-même regorge de possibilités. L’identité \( e^{i\tau} = 1 \) nous dit : « Soyez un avec le \( \tau \)²⁶. » Et même si observer qu’« une rotation d’un tour vaut 1 » ressemble à une \( \tau \)tologie, c’est la vraie nature du \( \tau \). Quand nous contemplons cette nature pour chercher la voie du \( \tau \), gardons à l’esprit que le \( \tau \)isme est basé sur la raison, pas sur la foi : les \( \tau \)istes ne sont jamais \( \pi \)eux. Et si vous n’êtes toujours pas convaincu, demandez-vous : pourquoi traîner les \( \pi \)eds, quand vous pouvez prendre le \( \tau \)reau par les cornes ?

6.2 Embrassez le tau

On a vu dans Le Manifeste de tau que le choix naturel pour la constante du cercle est le rapport de la circonférence d’un cercle non pas à son diamètre, mais à son rayon. Ce nombre a besoin d’un nom, et j’espère que vous vous joindrez à moi pour l’appeler \( \tau \) :

L’usage est naturel, la motivation est claire et les implications sont profondes. Et en plus, il vient avec un diagramme vraiment cool (figure 17). On voit sur la figure 17 un mouvement à travers le yang (« clair, blanc, montant ») jusqu’à \( \tau/2 \) et un retour à travers le yin (« sombre, noir, descendant ») jusqu’à \( \tau \)²⁷. Utiliser \( \pi \) au lieu de \( \tau \), c’est comme avoir le yang sans le yin.

Figure 17: Les disciples du \( \tau \)isme cherchent la voie du \( \tau \).

6.28 Jour de tau

Le Manifeste de tau a été lancé pour la première fois le Jour de tau : le 28 juin (écrit 6/28 aux États-Unis) 2010. Le Jour de tau est voué à célébrer et se réjouir de tout ce qui concerne les mathématiques²⁸. Si vous voulez recevoir des mises à jour sur \( \tau \), y compris des notifications sur d’éventuels futurs événements du Jour de tau, veuillez vous inscrire à la liste de diffusion du Manifeste de tau sur tauday.com. Et si vous pensez que les pâtisseries circulaires du Jour de pi sont goûteuses, attendez un instant : le Jour de tau a deux fois plus de pi(e)²⁹!

6.283 Remerciements

Je voudrais tout d’abord remercier Bob Palais pour avoir écrit « \( \pi \) Is Wrong! » Je ne me souviens pas à quel point je me méfiais de \( \pi \) avant de rencontrer cet article, mais « \( \pi \) Is Wrong! » m’a vraiment ouvert les yeux, et chaque section du Manifeste de tau lui doit une dette de gratitude. Je tiens aussi à remercier Bob pour ses commentaires utiles sur ce manifeste, et surtout pour sa gentillesse à ce sujet.

Cela fait un bon moment que je pense au Manifeste de tau, et un bon nombre des idées présentées ici ont été développées au cours de conversations avec mon ami Sumit Daftuar. Sumit a agi comme caisse de résonance, et occasionnellement comme avocat du Diable; et sa perspicacité, en tant qu’enseignant et en tant que mathématicien, a influencé ma pensée de bien des manières.

J’ai également reçu des encouragements et des commentaires utiles de plusieurs lecteurs. Je tiens à remercier Vi Hart et Michael Blake pour leurs incroyables vidéos inspirées de \( \tau \), ainsi que Don « Blue » McConnell et Skona Brittain pour avoir aidé \( \tau \) à faire partie de la culture geek (via l’application pour iPhone de temps-en-\( \tau \) et l’horloge tau, respectivement). La sympathique interprétation du symbole yin-yang utilisé dans Le Manifeste de tau est due à une suggestion de Peter Harremoës, qui (comme indiqué plus haut) a la rare distinction d’avoir proposé indépendamment d’utiliser \( \tau \) pour la constante du cercle. Un autre \( \tau \)iste pré-Manifeste de tau, Joseph Lindenberg, a également été un fervent partisan du mouvement, et son enthousiasme est très apprécié.

J’ai reçu plusieurs bonnes suggestions de Christopher Olah, surtout par rapport à l’interprétation géométrique de l’identité d’Euler, et la section 2.3.2 sur les identités eulériennes s’inspire d’une excellente suggestion de Timothy « Patashu » Stiles. Don Blaheta a anticipé et inspiré une partie du contenu sur les hypersphères, et John Kodegadulo l’a articulé d’une manière particulièrement claire et divertissante. Puis Jeff Cornell a ajouté un merveilleux perfectionnement avec l’insertion de \( \lambda = \tau/4 \), et Hjalmar Peters a aidé à améliorer l’exposé en me persuadant de synthétiser le contenu à ce sujet.

Enfin, je tiens à remercier Wyatt Greene pour ses remarques extraordinairement utiles sur une ébauche du manifeste avant le lancement; entre autres choses, si jamais vous avez besoin de quelqu’un pour vous dire que « pratiquement toute de la section finale [maintenant supprimée] est complètement merdique », Wyatt est l’homme de la situation ³⁰.

6.2831 À propos de l’auteur

Michael Hartl est un physicien et un entrepreneur. Il est l’auteur de plus d’une dizaine de livres, dont Learn Enough Python to Be Dangerous, et du Tutoriel Ruby on Rails, et il est cofondateur et auteur principal de Learn Enough (racheté en 2022). Avant cela, il a enseigné la physique théorique et computationnelle au California Institute of Technology (Caltech), où il a reçu un Prix d’excellence pour remarquables services rendus dans le domaine de l’enseignement et a servi comme éditeur de Caltech pour Le Cours de physique de Feynman. Il est diplômé du Harvard College, il a un doctorat en physique de Caltech et il est ancien élève du programme d’entrepreneur Y Combinator.

Michael a honte d’admettre qu’il connaît \( \pi \) à 50 décimales, soit environ 48 de plus que Matt Groening. Pour se faire pardonner, il a mémorisé 52 décimales de \( \tau \).

6.28318 Copyright

Le Manifeste de tau. Copyright © 2010–2023 par Michael Hartl. N’hésitez pas à distribuer le PDF du Manifeste de tau à des fins pédagogiques, et merci d’envisager d’acheter une ou plusieurs copies de l’édition papier pour les distribuer à des étudiants ou à d’autres parties intéressées (Seule la version originale est disponible actuellement.).

6.283185 Dédicace

Le Manifeste de tau est dédié à Harry « Woody » Woodworth, mon professeur de sciences de troisième. J’ai bénéficié, avec gratitude, du soutien de beaucoup de professeurs au fil des années, mais Woody a cru en mon potentiel à un degré extraordinaire, même irrationnel (oserais-je dire transcendant ?) ; prédisant avec confiance qu’ « un jour, ils enseigneront la « théorie d’Hartl » dans les écoles. » Vu combien de professeurs m’ont fait part de leur soutien et du fait qu’ils enseignaient le contenu du Manifeste de tau, je suppose que maintenant, d’une certaine manière, la prédiction de Woody s’est réalisée.