Манифест тау

Майкл Хартл

День тау, 2010

обновлено на день тау 2019

1 Константа окружности

Манифест тау посвящён одному из самых важных, возможно самому важному числу в математике: константе окружности, связывающей длину окружности с её линейным измерением. Тысячами лет окружность считалась самой идеальной геометрической фигурой, и в константе окружности содержится вся геометрия окружности, в едином числе. Конечно, традиционный выбор для константы окружности это \( \pi \) — но, как математик Боб Палэй замечает в своей восхитительной статье “\( \pi \) Is Wrong!”,1 \( \pi \) неправильное число. Наступило время всё исправить.

1.1 Нескромное предложение

Мы начнём исправлять ущёрб, нанесённый \( \pi \), для начала поняв само пресловутое число. Традиционное определение константы окружности делает \( \pi \) (пи) равным отношению длины окружности к её диаметру (ширине):2

\begin{equation} \label{eq:pi} \pi \equiv \frac{C}{D} = 3,14159265\ldots \end{equation}

У этого числа \( \pi \) есть много замечательных свойств — среди других, оно иррационально и, конечно, трансцендентно — и оно присутствует в огромном количестве математических формул.

images/figures/circle
Картинка 1: Анатомия окружности.

Должно быть очевидным, что \( \pi \) не "неправильно" в том смысле, что его значение неточное; значение числа \( \pi \) точное, и у него есть все свойства, которые ему приписывают математики. Когда мы говорим, что “\( \pi \) неправильное число”, мы имеем ввиду то, что \( \pi \) запутанный и неестественный выбор для константы окружности. В частности, окружность определена как множество точек, удалённых на одно и то же расстояние — радиус — от заданной точки, центра окружности (Картинка 1). В то время как существует бесконечное количество геометрических фигур с постоянной шириной, (Картинка 2),3 существует только одна фигура с постоянным радиусом. Это намекает на то, что более естественное определение для константы окружности должно использовать \( r \) вместо \( D \):

\begin{equation} \label{eq:circle_constant} \mbox{константа окружности} \equiv \frac{C}{r}. \end{equation}

Так как диаметр окружности вдвое больше радиуса, эта величина численно равна \( 2\pi \). Как и \( \pi \), оно трансцендентно, и следовательно иррационально, и (как мы увидим в Разделе 2) оно появляется в математических формулах с такой же частотой.

images/figures/Reuleaux_triangle_roll
Картинка 2: Одна из бесконечного количества геометрических фигур с постоянной шириной, не являющаяся окружностью.

В статье “\( \pi \) Is Wrong!”, Боб Палэй приводит веские доводы в пользу второго из этих двух определений для константы окружности, и по моему мнению заслуживает статус первого человека, который указал на это большой аудитории. Он называет истинную константу окружности "один поворот", и он также создаёт новый символ для этого числа (Картинка 3). Как мы позже увидим, определение этого числа верно, но к сожалению символ довольно странен, и (как обсуждается в Разделе 4), скорее всего он не будет широко использоваться.

images/figures/palais-tau
Картинка 3: Странный символ для константы окружности из статьи “\( \pi \) Is Wrong!”.

Манифест тау посвящён утверждению, что правильный ответ на “\( \pi \) неправильное число” это “да, на самом деле.” И истинная константа окружности заслуживает соответствующее имя. Как можно было уже догадаться, манифест тау предлагает, чтобы этим именем была греческая буква \( \tau \) (тау):

\begin{equation} \label{eq:tau} \tau \equiv \frac{C}{r} = 6,283185307179586\ldots \end{equation}

В течение этой статьи мы убедимся, что число \( \tau \) это правильный выбор, и мы покажем с помощью конкретных примеров использования (Раздел 2 and Раздел 3) и приведением прямых доводов (Раздел 4), что буква \( \tau \) также является естественным выбором.

1.2 Сильный враг

Перед тем, как мы приступим к демонстрации того, что \( \tau \) это естественный выбор для константы окружности, давайте признаем, против чего мы боремся — так как существует мощная теория заговора, которой сотни лет, направленная на распространение про-\( \pi \) пропаганды. Целые книги написаны про заслуги \( \pi \). (только подумайте, книги!) И иррациональная любовь к \( \pi \) распространилась до самых высот; например, на "день пи" 2010 Google изменил свой логотип, чтобы оказать честь \( \pi \) (Картинка 4).

images/figures/google_pi_day
Картинка 4: Логотип Google 14 марта 2010 (“день пи”).

В то же время, некоторые люди запоминают дюжины, сотни, даже тысячи цифр этого мистического числа. Какой несчастный человек запоминает даже 40 цифр \( \pi \) (Картинка 5)?4

Figure 5: Майкл Хартл доказывает, что Мэтт Гронинг неправ, вспоминая первые 40 цифр \( \pi \)ю.

Воистину, сторонники \( \tau \) стоят перед мощным оппонентом. И всё же, на нашей стороне стоит мощный сторонник — истина.

2 Число тау

Мы увидели в Разделе 1.1, что число \( \tau \) может также быть записано как \( 2\pi \). Как замечено в статье “\( \pi \) Is Wrong!”, очень интересно понаблюдать за тем, с какой удивительной частотой комбинация \( 2\pi \) появляется в математике. Возьмём к примеру интегралы по всему пространству в полярных координатах:

\[ \int_0^{2\pi}\int_0^\infty f(r, \theta)\, r\, dr\, d\theta. \]

Интегрирование по \( \theta \) всегда происходит до \( 2\pi \). Та же самая величина появляется в определении гауссовского (нормального) распределения,

\[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \]

и опять в преобразовании Фурье,

\[ f(x) = \int_{-\infty}^\infty F(k)\, e^{2\pi ikx}\,dk \]
\[ F(k) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-2\pi ikx}\,dx. \]

Также присутствует в интегральной формуле Коши,

\[ f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz, \]

и в  n-ном корне из единицы,

\[ z^n = 1 \Rightarrow z = e^{2\pi i/n}, \]

и в значениях дзета-функции Римана для положительных чётных чисел:5

\[ \zeta(2n) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}} = \frac{B_n}{2(2n)!}\,(2\pi)^{2n}.\qquad n = 1, 2, 3, \ldots \]

Эти формулы не были выбраны специально — откройте свой любимый учебник по физике или математике и убедитесь сами. Есть ещё очень много примеров этого, и вывод ясен: в величине \( 2\pi \) есть что-то особенное.

Чтобы хорошенько разобраться в этой загадке, мы должны вернуться к первым принципам и посмотреть на природу окружностей, и особенно природу углов. Хотя этот материал уже скорее всего известен читателю, будет неплохо его повторить ещё раз, так как в нём лежит понимание \( \tau \).

2.1 Окружности и углы

Существует тесная связь между окружностями и углами, как показано в Картинке 6. Так как у концентрических окружностей в Картинке 6 разные радиусы, прямые в фигуре отрезают дуги разной длины, но угол \( \theta \) (тета) тот же самый в каждом случае. Другими словами, размер угла не зависит от радиуса окружности, используемой чтобы определить дугу. Главная задача измерения угла это создать систему, в которой будет эта радиус-инвариантность.

images/figures/angle-arclength
Картинка 6: Угол \( \theta \) с двумя концентрическими окружностями.

Возможно, самая простая система углов это градусы, где окружность делится на 360 равных частей. Ученикам, изучающим тригонометрию, в этой системе говорят запоминать особые углы, показанные на Картинке 7.

images/figures/degree-angles
Figure 7: Несколько особых углов, в градусах.

Более фундаментальная система измерения углов заключается в прямом сравнении длины дуги \( s \) с радиусом \( r \). Хоть и длины в Картинке 6 разнятся, длина дуги растёт пропорционально радиусу, поэтому отношение длины дуги к радиусу в каждом случае то же самое:

\[ s\propto r \Rightarrow \frac{s_1}{r_1} = \frac{s_2}{r_2}. \]

Это даёт следующее определение величины угла в радианах:

\begin{equation} \label{eq:radians} \theta \equiv \frac{s}{r}. \end{equation}

У этого определения есть требуемое свойство радиус-инвариантности, и так как и \( s \) , и  \( r \) измеряются в одних и тех же единицах измерения, радианы безразмерны по определению. Использование радиан ведёт к кратким и элегантным формулам в математике; к примеру, формула для производной \( \sin\theta \) истинна только когда \( \theta \) выражен в радианах:

\[ \frac{d}{d\theta}\sin\theta = \cos\theta. \qquad\mbox{(истинно только когда $\theta$ в радианах)} \]

Естественно, особые углы в Картинке 7 могут быть выражены в радианах, и когда вы были в школе и изучали тригонометрию, вы скорее всего запоминали значения в Картинке 8. (Я называю эту систему измерения \( \pi \)-радианы, чтобы подчеркнуть тот факт, что они записаны, используя \( \pi \).)

images/figures/pi-angles
Картинка 8: Некоторые особые углы, в \( \pi \)-радианах.
images/figures/angle-fractions
Картинка 9: Все "особые” углы это доля всей окружности.

Достаточно немного об этом подумать, и становится ясно, что так называемые "особые" углы на самом деле простые рациональные доли полной окружности, как показано в Картинке 9. Это наводит на то, чтобы посмотреть на Ур. (4) ещё раз, и переписать длину дуги \( s \) как долю \( f \) всей длины окружности \( C \), т.е., \( s = f C \):

\[ \theta = \frac{s}{r} = \frac{fC}{r} = f\left(\frac{C}{r}\right) \equiv f\tau. \]

Заметьте, как естественно \( \tau \) появляется в этом анализе. Если вы верующий в \( \pi \), я боюсь что получившаяся диаграмма особых углов (Картинка 10) сотрясёт вашу веру до самого основания.

images/figures/tau-angles
Картинка 10: Некоторые особые углы, в радианах.

Хотя и есть много других доводов в пользу \( \tau \), Картинка 10 может показаться самой убедительной. Мы также можем увидеть гений Боба Палэя в Картинке 10, где он сопоставляет константу окружности с “одним поворотом”: \( \tau \) это измерение углов в радианах для одного оборота вокруг окружности. Более того, следует заметить, что с \( \tau \) нечего запоминать наизусть: двенадцатая оборота это \( \tau/12 \), восьмая оборота это \( \tau/8 \), и так далее. Использование \( \tau \) убивает двух зайцев одним выстрелом: оно объединяет концептуальную ясность со всеми конкретными плюсами радиан; абстрактное значение, скажем, \( \tau/12 \), очевидно, но оно в то же самое время является обычным числом:

\[ \mbox{одна двенадцатая оборота} = \frac{\tau}{12} \approx \frac{6,283185}{12} = 0,5235988. \]

Сравнив Картинку 8 с Картинкой 10, мы видим откуда эти надоедливые \( 2\pi \): один оборот это \( 1\tau \), но в то же время \( 2\pi \). Численно они равны, но концептуально они довольно разные.

Отступление

Ненужные двойки, появляющиеся из-за использования \( \pi \) достаточно раздражают сами по себе, но намного более серьёзна их тенденция сокращаться с любым чётным числом. Абсурдные результаты, такие как половина\( \pi \) для четверти оборота, скрывают связь между измерением угла и константой окружности. Те, кто считают что "не важно" какую константу окружности мы используем, я просто прошу посмотреть на Картинку 8, Картинку 9, и Картинку 10 глазами ребёнка. Вы сразу увидите, что с точки зрения начинающего, использовать \( \pi \) вместо \( \tau \) это педагогическая катострофа.

2.2 Функции окружности

Хотя измерение углов в радианах представляет один из самых веских доводов в пользу истинной константы окружности, стоит проверить плюсы \( \pi \) и \( \tau \) также в других контекстах. Мы начнём с рассмотрения важных элементарных функций \( \sin\theta \) и \( \cos\theta \). Они известны как "функции окружности" потому что они дают координаты точки на единичной окружности (т.е. окружности с радиусом \( 1 \)), синус и косинус являются фундаментальными функциями тригонометрии (Картинка 11).

images/figures/circle-functions
Картинка 11: Функции окружности это координаты на единичной окружности.

Давайте изучим графики функций окружности чтобы лучше понять их поведение.6 Вы можете заметить из Картинки 12 и Картинки 13, что обе функции периодические с периодом \( T \). Как показано на Картинке 12, функция синуса \( \sin\theta \) начинается с нуля, достигает максимума на четверти периода, проходит через ноль на половине периода, достигает минимума на трёх четвертях периода, и возвращается на ноль после одного полного периода. В то же время, функция косинуса \( \cos\theta \) начинается на максимуме, достигает минимума на половине периода, и проходит через ноль в одной четверти и три четверти периода (Картинка 13). На обеих картинках показано значение \( \theta \) (в радианах) в каждой особой точке.

images/figures/sine-with-tau
Картинка 12: Важные точки для \( \sin\theta \) , выраженные через период \( T \).
images/figures/cosine-with-tau
Картинка 13: Важные точки для\( \cos\theta \) , выраженные через период \( T \).

Конечно, так  как и синус и косинус оба проходят через один полный цикл во время одного оборота  \( T = \tau \); т.е. у функций окружности периоды равны константе окружности. Как следствие, "особые" значения \( \theta \) крайне естественны: четверть периода это \( \tau/4 \), пол периода это \( \tau/2 \), и т.д. На самом деле, когда я делал Картинку 12, в один момент я начал думать о том, чему численно равно значение \( \theta \) для нуля функции синуса. Так как ноль появляется через пол периода, и так как \( \tau \approx 6,28 \), быстрое вычисление в уме приводит к следующему результату:

\[ \theta_\mathrm{ноль} = \frac{\tau}{2} \approx 3,14. \]

Именно. Я был удивлён обнаружить, что я уже забыл что \( \tau/2 \) иногда называется “\( \pi \)”. Возможно, то же самое случилось с вами сейчас. Добро пожаловать в мой мир.

2.3 Тождество Эйлера

Меня нельзя было бы простить, если в этом манифесте не было написано про тождество Эйлера, иногда называемое “самым красивым уравнением в математике”. Это тождество связано с комплексным возведением в степень, которое в свою очередь глубоко связано как и с функциями окружности, так и с самой геометрией окружности.

В зависимости от того, какой путь выбран, следующее уравнение может быть или доказано, или взято как определение; в любом случае, оно довольно замечательное:

\begin{equation} \label{eq:eulers_formula} e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \qquad\mbox{формула Эйлера} \end{equation}

Известная как формула Эйлера (в честь Леонарда Эйлера), это уравнение связывает экспоненциал с воображаемым аргументом к синусу и косинусу, функциям окружности, а также к мнимой единице \( i \). Хотя доказывание формулы Эйлера вне рамок этого манифеста, её истинность и важность неоспоримы.

Определение значения Ур. (5) при \( \theta = \tau \) приводит к тождеству Эйлера:7

\begin{equation} \label{eq:eulers_identity_tau} e^{i\tau} = 1. \qquad\mbox{тождество Эйлера (версия $\tau$)} \end{equation}

В словах, Ур. (5) делает следующее фундаментальное наблюдение:

Комплексный экспоненциал константы окружности равен единице.

Геометрически, умножение на \( e^{i\theta} \) соответствует поворачиванию комплексного числа на угол \( \theta \) в комплексной плоскости, что наводит на вторую интерпретацию тождества Эйлера:

Поворот на один оборот это 1.

Так как число \( 1 \) это мультипликативная единица, геометрическое значение \( e^{i\tau} = 1 \) - поворачивание точки в комплексной плоскости на один оборот просто возвращает её в её изначальное положение.

Как и в случае с радианами, мы видим естественную ассоциацию между \( \tau \) и одним оборотом вокруг окружности. Безусловно, приравнивание \( \tau \) с “одним оборотом” делает тождество Эйлера почти тавтологией.8

Не самое красивое уравнение 

Конечно, традиционная форма тождества Эйлера записана с помощью \( \pi \) вместо \( \tau \). Чтобы вывести её, мы начнём с определения значения формулы Эйлера в точке \( \theta = \pi \), и это даёт

\begin{equation} \label{eq:eulers_identity_pi} e^{i\pi} = -1. \qquad\mbox{тождество Эйлера (версия $\pi$)} \end{equation}

Но этот знак минуса настолько уродлив, что Ур. (7) почти всегда сразу перестанавливают, давая тем самым следующее "красивое" уравнение:

\begin{equation} \label{eq:eulers_pi_rearranged} e^{i\pi} + 1 = 0. \qquad\mbox{тождество Эйлера (перестановленное)} \end{equation}

На этом этапе, показывающий обычно делает какое-то грандиозное утверждение о том, как Ур. (8) связывает \( 0 \), \( 1 \), \( e \), \( i \), и \( \pi \) — иногда называет их “пять самых важных чисел в математике”.

В этом контексте удивительно то, сколько людей жалуются, что Ур. (6) связывает между собой только четыре из этих пяти чисел. Ладно:

\begin{equation} \label{eq:euler_tau_zero} e^{i\tau} = 1 + 0. \end{equation}

Ур. (9), без перестановки, на самом деле связывает между собой пять самых важных чисел в математике: \( 0 \), \( 1 \), \( e \), \( i \), и \( \tau \).

Тождества Эйлера

Так как в уравнении можно прибавить ноль в любом месте, прибавление \( 0 \) в Ур. (9) довольно несерьёзный аргумент против \( e^{i\pi} + 1 = 0 \), но тождество \( e^{i\pi} = -1 \) говорит о нечто более серьёзном. Давайте посмотрим, что случится, если мы перепишем его с помощью \( \tau \):

\[ e^{i\tau/2} = -1. \]

Геометрически, это уравнение говорит, что поворот на половину оборота это то же самое, что и умножение на \( -1 \). И это на самом деле так: после поворота на \( \tau/2 \) радиан, комплексное число \( z = a + ib \) превращается в \( -a - ib \), что конечно же просто \( -1\cdot z \).

Написав "оригинальную" форму тождества Эйлера с помощью \( \tau \), мы видим (Ур. (7)) прозрачный геометрический смысл, который отсутствует, если записать тождество с помощью \( \pi \). (Конечно, \( e^{i\pi} = -1 \) можно интерпретировать как поворот на \( \pi \) радиан, но почти всегда происходящее перестановление \( e^{i\pi} + 1 = 0 \) показывает как использование \( \pi \) отвлекает от естественного геометрического смысла тождества.) У тождества, соответствующего четверти поворота есть похожая геометрическая интерпретация: определение значения Ур. (5) в точке \( \tau/4 \) даёт \( e^{i\tau/4} = i \), что говорит о том, что поворот на четверть в комплексной плоскости это то же самое, что и умножение на \( i \); таким же образом, \( e^{i\cdot(3\tau/4)} = -i \) говорит что поворот на три четверти это то же самое, что и умножение на \( -i \). Все эти результаты, которые мы назовём тождества Эйлера, находятся в Таблице 1.

Угол поворота Тождество Эйлера
\( 0 \) \( e^{i\cdot0} \) \( = \) \( 1 \)
\( \tau/4 \) \( e^{i\tau/4} \) \( = \) \( i \)
\( \tau/2 \) \( e^{i\tau/2} \) \( = \) \( -1 \)
\( 3\tau/4 \) \( e^{i\cdot(3\tau/4)} \) \( = \) \( -i \)
\( \tau \) \( e^{i\tau} \) \( = \) \( 1 \)
Таблица 1: Тождества Эйлера для половины, четвети, трёх четвертей и одного полного оборота.

Можно продолжить этот анализ дальше заметив, что для любого угла \( \theta \), \( e^{i\theta} \) может быть интерпретировано как точка лежащая на единичной окружности в комплексной плоскости. Так как комплексная плоскость приравнивает горизонтальную ось с действительной частью числа и вертикальную ось с мнимой частью, формула Эйлера говорит нам, что \( e^{i\theta} \) соответствует координатам \( (\cos\theta, \sin\theta) \). Подставляя значения "особых" углов из  Картинки 10 в Ур. (5) тогда даёт точки, показанные в Таблице 2, и построив график по этим точкам в комплексной плоскости даёт нам Картинку 14. Сравнение Картинки 14 с Картинкой 10 быстро развеивает любые сомнения о том, выбор какой константы окружности лучше показывает отношение между формулой Эйлера и геометрией окружности.

Полярная форма Прямоугольная форма Координаты
\( e^{i\theta} \) \( \cos\theta + i\sin\theta \) \( (\cos\theta, \sin\theta) \)
\( e^{i\cdot0} \) \( 1 \) \( (1, 0) \)
\( e^{i\tau/12} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \) \( (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \)
\( e^{i\tau/8} \) \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \)
\( e^{i\tau/6} \) \( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} i \) \( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( e^{i\tau/4} \) \( i \) \( (0, 1) \)
\( e^{i\tau/3} \) \( -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} i \) \( (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( e^{i\tau/2} \) \( -1 \) \( (-1, 0) \)
\( e^{i\cdot(3\tau/4)} \) \( -i \) \( (0, -1) \)
\( e^{i\tau} \) \( 1 \) \( (1, 0) \)
Таблица 2: Комплексные экспоненциалы особых углов из Картинки 10.
images/figures/tau_euler_circle
Картинка 14: Комплексные экспоненциалы некоторых особых углов, на комплексной плоскости.

3 Площадь окружности: смертельный удар

Если вы пришли сюда как верующий в \( \pi \), сейчас вы уже должны ставить свою веру под сомнение. \( \tau \) такая естественная константа окружности, её смысл такой прозрачный — не существует ли примера, где во всей своей красе сияет \( \pi \)? Что-то припоминается — да, такая формула существует — это формула для площади окружности! Узрейте:

\[ A = \tfrac{1}{4} \pi D^2. \]

Нет, погодите. Формула для площади всегда пишется используя радиус, вот так:

\[ A = \pi r^2. \]

Здесь мы видим \( \pi \), без каких либо чисел впереди него, в одном из самых важных уравнений в математике — формуле, впервые доказанной самим Архимедом. Порядок восстановлен! И всё же, название этого раздела звучит зловеще... Если это уравнение показывает победу \( \pi \), как оно может также являться смертельным ударом по нему самому?

3.1 Квадратичные формы

Давайте изучим этот образец совершенства числа \( \pi \), \( A = \pi r^2 \). Мы замечаем, что в нём фигурирует диаметр — нет, погодите, радиус — возведённый во вторую степень. Это делает эту формулу простой квадратичной формой. Такие формы появляются в многих контекстах; как физик, мои любимые примеры — из базовой программы физики. Сейчас мы по очереди взглянем на несколько таких примеров.

Падение в однородном гравитационном поле

Галилео Галилей обнаружил, что скорость тела, падающего в однородном гравитационном поле пропорциональна времени падения:

\[ v \propto t. \]

Константа пропорциональности — ускорение свободного падения \( g \):

\[ v = g t. \]

Так как скорость это производная положения, мы можем расчитать расстояние, которое прошло тело в падении с помощью интегрирования:

\[ y = \int v\,dt = \int_0^t gt\,dt = \textstyle{\frac{1}{2}} gt^2. \]

Потенциальная энергия в пружине

Роберт Гук обнаружил, что внешняя сила, необходимая для того, чтобы растянуть пружину, пропорциональна расстоянию, на которое пружина была растянута:

\[ F \propto x. \]

Константа пропорциональности — коэффициент упругости \( k \):9

\[ F = k x. \]

Потенциальная энергия в пружине тогда равна работе, совершённой внешней силой:

\[ U = \int F\,dx = \int_0^x kx\,dx = \textstyle{\frac{1}{2}} kx^2. \]

Энергия движения

Исаак Ньютон обнаружил, что сила, приложенная к телу пропорциональна его ускорению:

\[ F \propto a. \]

Константа пропорциональности — масса \( m \):

\[ F = m a. \]

Энергия движения, или кинетическая энергия, равна механической работе, совершённой при ускорении массы до скорости \( v \):

\[ K = \int F\,dx = \int ma\,dx = \int m\frac{dv}{dt}\,dx = \int m\frac{dx}{dt}\,dv = \int_0^v mv\,dv = \textstyle{\frac{1}{2}} mv^2. \]

3.2 Предчувствие дурного

Увидев несколько примеров квадратичных форм в физике, у вас сейчас возможно появилось предчувствие дурного при нашем возвращении к геометрии окружности. Это ощущение оправдано.

images/figures/circular-area
Картинка 15: Разбивание окружности на кольца.

Как можно увидеть в Картинке 15, площадь окружности может быть расчитанна разбиванием её в кольца длины \( C \) и ширины \( dr \), где площадь каждого кольца \( C\,dr \)

\[ dA = C\,dr. \]

Теперь, длина окружности пропорциональна её радиусу:

\[ C \propto r. \]

Константа пропорциональности это \( \tau \):

\[ C = \tau\,r. \]

Площадь окружности, тогда, это интеграл по всем кольцам:

\[ A = \int dA = \int_0^r C\,dr = \int_0^r \tau\,r\,dr = \textstyle{\frac{1}{2}} \tau\,r^2. \]

Если вы ещё были на стороне \( \pi \) в начале этого раздела, ваша голова взорвалась. Так как даже в этом случае, где \( \pi \) должен сиять, есть отсутствующий множитель \( 2 \). Конечно, изначальное доказательство Архимеда показывает, что площадь окружности не \( \pi r^2 \), а то, что она равна площади прямоугольного треугольника с основанием  \( C \) и высотой \( r \). Применяя формулу для площади треугольника, мы получаем:

\[ A = \textstyle{\frac{1}{2}} bh = \textstyle{\frac{1}{2}}Cr = \textstyle{\frac{1}{2}}\tau\,r^2. \]

Этот множитель одной второй невозможно оставить позади (Таблица 3).

Величина Символ Формула
Расстояние, на которое упало тело \( y \) \( \textstyle{\frac{1}{2}}gt^2 \)
Энергия пружины \( U \) \( \textstyle{\frac{1}{2}}kx^2 \)
Кинетическая энергия \( K \) \( \textstyle{\frac{1}{2}}mv^2 \)
Площадь окружности \( A \) \( \textstyle{\frac{1}{2}}\tau\,r^2 \)
Таблица 3: Некоторые распространённые квадратичные формы.

Quod erat demonstrandum

В этом манифесте мы собирались показать, что \( \tau \) истинная константа окружности. Так как формула для площади окружности, можно сказать, была последним лучшим доводом в пользу \( \pi \), я наберусь смелости и скажу: Q.E.D.

4 Конфликт и сопротивление

Несмотря на неоспоримую демонстрацию превосходства \( \tau \), всё равно есть те, кто противятся идее, как с точки зрения записи, так и с точки зрения концепции числа. В этом разделе, мы поговорим о том, что беспокоит тех, кто принимает число, но не букву. Затем, мы приведём контраргументы против многих доводов против самого \( C/r \), включая так называемый “Pi Manifesto” ("манифест пи"), который защищает первенство \( \pi \). В этом контексте, мы обсудим довольно сложную тему — объём гиперсферы (Раздел 5.1), что поменяет и усилит доводы в Разделе 3 про площадь окружности.

4.1 Один оборот

Настоящий тест любой системы обозначений это использование; увидев, как \( \tau \) используется в этом манифесте, вы возможно уже убеждены, что этот символ хорошо выполняет свою роль. Но для такой фундаментальной константы как \( \tau \) было бы хорошо иметь какие-то глубокие причины для выбора этого символа. Почему не \( \alpha \), к примеру, или \( \omega \)? Что такого хорошего в \( \tau \)?

Есть две главные причины использовать \( \tau \) для  константы окружности. Первая заключается в том, что \( \tau \) внешне напоминает \( \pi \): после столетий использования, ассоциация \( \pi \) с константой окружности неизбежна, и использование \( \tau \) получает пользу от этой ассоциации, вместо борьбы с ней. (Конечно, горизонтальная линия в каждой букве намекает на ассоциацию "ног" со  знаменателями, так что у \( \pi \) две ноги в его знаменателе, в то время как у \( \tau \) только одна. С этой точки зрения, отношение \( \tau = 2\pi \) абсолютно естественно.)10

Вторая причина заключается в том, \( \tau \) соответсвует одному обороту (англ. turn), и вы могли заметить что “\( \tau \)” и “turn” оба начинаются со звука "т". В этом лежала изначальная мотивация в выборе буквы \( \tau \), и это не совпадение: английское слово “turn” происходит от греческого слова τόρνος (торнос), что означает "токарный станок". Использование математического шрифта для первой буквы в слове τόρνος даёт нам: \( \tau \).

После изначального запуска манифеста тау, я узнал, что Питер Хэрримоэс независимо предложил использовать \( \tau \) автору статьи “\( \pi \) Is Wrong!” Бобу Палэю в 2010, Джон Фишер предложил \( \tau \) посте на Usenet в 2004, и Джозеф Линдерберг предвидел как довод, так и символ более чем 20 лет до этого!11 Доктор Хэрримоэс, в частности, акцентировал внимание на доводе, сделанный в Разделе 1.1: использование \( \tau \) даёт константе окружнорсти имя. Так как \( \tau \) это обыкновенная буква греческого алфавита, люди, встречающие её в первый раз, сразу смогут её произнести.

Двусмысленная система обозначений

Конечно, с любым новым сисмволом приходит потенциал для путаницы с существующей системой обозначений. Как было замечено в Разделе 1.1, в статье“\( \pi \) Is Wrong!” эта проблема избегается созданием нового символа (Картинка 3). Такое уже случалось; например, в ранние дни квантовой механики Макс Планк ввёл новую константу \( h \), которая связывает энергию частицы света к её частоте (через уравнение \( E = h\nu \)), но физики позже осознали, что намного более удобно использовать  \( \hbar \) — где \( \hbar \) это просто \( h \) поделённое на… эмм… \( 2\pi \) — и этот символ теперь везде используется.

Но сделать так, чтобы новый символ приняли, трудно: ему нужно дать название, название должно стать широко известным, и сам символ должен быть добавлен во все системы, необходимые для его отображения и печати. Более того, пропагандирование нового символа для \( 2\pi \) потребовало бы кооперации с академическим математическим сообществом, которое было апатично (в лучшем случае) или враждебно (в худшем) на тему  \( \pi \) против \( \tau \). Использование существующего символа позволяет обойти стороной математический истеблишмент.12

Вместо создания нового символа, в манифесте тау предлагается использование уже существующей греческой буквы. Как следствие, так как \( \tau \) уже используется в некоторых существующих контекстах, мы должны поговорить о потенциальном конфликте с существующей практикой. К счастью, наш символ довольно редко используется часто. Более того, в то время как \( \tau \) используется для некоторых конкретных переменных — например, напряжения сдвига в машиностроении, момента силы в механике, и собственного времени в особой и общей теориях относительности — не существует всеобщего противоречащего использования.13 В этих случаях, мы можем игнорировать двусмысленность или обойти проблему стороной, выборочно поменяв уже используемые символы. Например, можно использовать  \( N \) для момента силы14 или \( \tau_p \) для собственного времени.

Несмотря на эти доводы, потенциальные конфликты в использовании символов оказались самым большим источником сопротивления \( \tau \). Некоторые люди, с которыми я разговаривал, напрочь исключают, что \( \tau \) (или, по-видимому, любой другой уже использующийся символ) сможет обойти эти проблемы. Но у учёных и инженеров высокая терпимость к двусмысленности в системах обозначений, и утверждение что  \( \tau \)-константа-окружности не может сосуществовать с другими использованиями данного символа, закрывает глаза на значительные доказательства обратного.

Один пример легко переносимой двусмысленности происходит в квантовой механике, где мы встречаем следующую формулу для радиуса Бора, которая (грубо говоря) является "размером" атома водорода в его самом низком энергетическом уровне  (основном уровне):

\[ a_0 = \frac{\hbar^2}{m e^2}, \]

где \( m \) это масса электрона и \( e \) его заряд. В то же самое время, сам основной уровень описывается величиной, известной как волновая функция, которая падает экспоненциально с радиусом на масштабах длины, заданных радиусом Бора:

\begin{equation} \label{eq:hydrogen} \psi(r) = N\,e^{-r/a_0}, \end{equation}

где \( N \) это нормирующая постоянная.

Уже заметили проблему? Скорее всего нет, в этом и суть. "Проблема" заключается в том, что \( e \) в радиусе Бора и \( e \) в волновой функции не одна и та же \( e \) — первая это заряд электрона, в то время как вторая это основание натурального логарифма. Более того, если мы подставим под \( a_0 \) его значение в Ур. (10), мы получим

\[ \psi(r) = N\,e^{-m e^2 r/\hbar^2}, \]

в котором есть \( e \) возведённое в степень чего-то содержащего в себе ещё одну \( e \). Дела ещё хуже, чем кажутся, потому что  \( N \) содержит в себе ещё одну \( e \):

\[ \psi(r) = \sqrt{\frac{1}{\pi a_0^3}}\,e^{-r/a_0} = \frac{m^{3/2} e^3}{\pi^{1/2} \hbar^3}\,e^{-m e^2 r/\hbar^2}. \]

Кстати, \( \pi \)-педанты (и таковых, как я понял, очень много) могли заметить, что волновая функция основного уровня водорода содержит в себе множитель \( \pi \):

\[ \psi(r) = \sqrt{\frac{1}{\pi a_0^3}}\,e^{-r/a_0}. \]

С первого взгляда, похоже на то, что это более естественно, чем версия с \( \tau \):

\[ \psi(r) = \sqrt{\frac{2}{\tau a_0^3}}\,e^{-r/a_0}. \]

Как всегда, внешность обманчива: значение \( N \) задаётся произведением

\[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{2}{a_0^{3/2}}, \]

которое показывает, что константа окружности "входит" в вычисление через \( 1/\sqrt{2\pi} \), т.е., \( 1/\sqrt{\tau} \). Как и в случае с площадью окружности, сокращение с последующим "голым"\( \pi \) это всего лишь совпадение.

4.2 Манифест пи

Хотя и большинство аргументов против \( \tau \) приходят через случайную переписку по электронной почте и различными комментариями в интернете, есть и организованная оппозиция. В частности, с начала публикации манифеста тау в июне 2010, “Pi Manifesto” ("манифест пи") появился, чтобы привести доводы в пользу традиционной константы окружности. Этот раздел, и два разделе после него содержат опровержение этих аргументов. Неизбежно то, что контраргументы будут немногословны и технически более сложные, чем остальная часть этого манифеста, но даже если не сильно вдаваться в подробности того, что будет написано далее, даст вам достаточно информации, чтобы понять, что аргументы, приведённые в манифесте пи слабы.

В то время, как мы можем определённо считать появление манифеста пи хорошим знаком продолжающегося интереса в этой теме, манифест делает несколько ложных утверждений. Например, в нём говорится, что множитель \( 2\pi \) в гауссовском (нормальном) распределении это совпадение, и то, что оно может быть более естественно записано как

\[ \frac{1}{\sqrt\pi(\sqrt 2\sigma)}e^{\frac{-x^2}{(\sqrt 2\sigma)^2}}. \]

Это не так: множитель \( 2\pi \) приходит в формулу через возведение в квадрат ненормированного гауссовского распределения и переключение в полярную систему координат, что ведёт к множителю \( 1 \) от одного интеграла и \( 2\pi \) от второго интеграла. Как и в случае с площадью окружности, множитель\( \pi \) появляется из-за \( 1/2\times 2\pi \), не от самого \( \pi \).

Связанное с этим утверждение это то, что Гамма-функция в точке \( 1/2 \) записывается в более естественной форме с помощью  \( \pi \):

\[ \Gamma(\textstyle{\frac{1}{2}}) = \sqrt{\pi}, \]

где

\begin{equation} \label{eq:gamma} \Gamma(p) = \int_{0}^{\infty} x^{p-1} e^{-x}\,dx. \end{equation}

Но \( \Gamma(\frac{1}{2}) \) можно свести к такому же гауссовскому интегралу, как и в нормальном распределении (задав \( u = x^{1/2} \)), так что \( \pi \) в этом случае на самом деле тоже является \( 1/2\times 2\pi \). Конечно, во многих аргументах, приведённых в манифесте пи, константа окружности появляется через интеграл по всем углам, т.е. по всем \( \theta \) от \( 0 \) до \( \tau \).

Манифест пи также изучает некоторые формулы для правильных многоугольников с количеством сторон \( n \) (или “\( n \)-угольников”). К примеру, в манифесте замечено, что сумма всех внутренних углов \( n \)-угольника задаётся формулой

\[ \sum_{i=1}^n \theta_i=(n-2)\pi. \]

Контраргумент был приведён в статье “Pi Is Wrong!”, в котором замечается следующее: “Сумма всех внутренних углов (треугольника) равна \( \pi \), согласен. Но сумма всех внешних углов любого многоугольника, из которой легко вывести сумму всех внутренних углов, и которую можно обобщить до интеграла кривизны простой замкнутой кривой, равна \( 2\pi \).” В дополнение, в манифесте пи предложена формула для площади \( n \)-угольника с единичным радиусом (расстоянием от центра до любой вершины),

\[ A=n\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}, \]

называя её “очевидно… ещё одним очком в пользу \( \pi \).” Но используя уравнение двойного угла \( \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta \) показывает, что эта формула может быть записана как:

\[ A = n/2\, \sin\frac{2\pi}{n}, \]

что просто-напросто

\begin{equation} \label{eq:area_polygon} A = \frac{1}{2} n\, \sin\frac{\tau}{n}. \end{equation}

Другими словами, у площади \( n \)-угольника есть естественный множитель \( 1/2 \). На самом деле, решив предел в Ур. (12) при \( n\rightarrow \infty \) (и применив правило Лопиталя) даёт площадь единичного правильного многоугольника с бесконечным количеством сторон, т.е. единичную окружность:

\begin{equation} \label{eq:lhopital} A = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2} n\, \sin\frac{\tau}{n} = \frac{1}{2} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sin\frac{\tau}{n}}{1/n} = \tfrac{1}{2}\tau. \end{equation}

В этом контексте, мы должны заметить что в манифесте пи делается слишком много акцента на том, что \( \pi \) это площадь единичного круга, из чего следует (к примеру) то что квадрант (единичной) окружности это \( \pi/4 \). Это, как говорится в манифесте, делает \( \pi \) таким же хорошей системой измерений углов в радианах, как и \( \tau \). К сожалению для этого аргумента, как было замечено в Разделе 3 и замечено снова в Ур. (13), в контексте площади окружности, множитель \( 1/2 \) появляется естественным образом. Конечно, формула площади сектора окружности, опирающегося на угол \( \theta \) равна

\[ \tfrac{1}{2}\theta\, r^2, \]

так что, невозможно всегда избежать множитель \( 1/2 \). (Из этого мы видим, что \( A = \frac{1}{2} \tau\, r^2 \) это просто частный случай \( \theta = \tau \).)

Вкратце, разница между углом и площадью не произвольна. В случае с измерением углов, не существует естественного множителя  \( 1/2 \). По сравнению с углами, в контексте площади множитель \( 1/2 \) появляется через интеграл линейной функции, ассоциированной с простой квадратичной формой. На самом деле, аргументы в пользу \( \pi \) ещё хуже, чем они уже кажутся, как и продемонстрировано в следующем разделе.

5 Тщательное изучение пи и тау

Я продолжаю быть удивлённым тем, насколько этот предмет богат, и моё понимание \( \pi \) и \( \tau \) продолжает движение вперёд. На день "половины тау" 2012, я понял, что нашёл в точности что не так с \( \pi \). Мой аргумент стоял на анализе площади и объёма \( n \)-мерной сферы, который (как показано внизу) делает ясным факт того, что у \( \pi \) нету никакой фундаментальной геометрической важности. Мой анализ был неполон — факт, на который мне указал читатель манифеста тау Джефф Корнелл. Как следствие, этот раздел это моя попытка не только окончательно опровергнуть \( \pi \), но и также артикулировать истину о \( \tau \), истину, которая глубже и тоньше, чем я себе до этого воображал.

Заметка: Этот раздел сложнее, чем остальная часть манифеста, и может быть пропущен без потери непрерывности данного манифеста. Если вы найдёте этот раздел запутанным, я рекомендую сразу перейти в заключению в Разделе 6.

5.1 Площадь поверхности и объём гиперсферы

Мы начинаем наше расследование с обобщения окружности до произвольных измерений.16 Этот объект, называемый гиперсферой или \( n \)-сферой, может быть определён следующим образом.17 (Для удобства, мы предполагаем что эти сферы находятся в начале координат.) \( 0 \)-сфера это пустое множество, и мы определяем её "внутренность" как точку.18\( 1 \)-сфера это множество всех точек, удовлетворяющих

\[ x^2 = r^2, \]

которое состоит из двух точек \( \pm r \). Её внутренность, которая удовлетворяет

\[ x^2 \leq r^2, \]

это отрезок от \( -r \) до \( r \). \( 2 \)-сфера это окружность, являющаяся множеством всех точек, удовлетворяющих

\[ x^2 + y^2 = r^2. \]

Её внутренность, которая удовлетворяет

\[ x^2 + y^2 \leq r^2, \]

это круг. Так же, \( 3 \)-сфера удовлетворяет

\[ x^2 + y^2 + z^2 = r^2, \]

и её внутренность это шар. Обобщение до произвольного \( n \), хотя его и сложно визуализировать для \( n > 3 \), довольно простое: \( n \)-сфера это множество точек, удовлетворяющих

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = r^2. \]

Манифест пи (обсуждаемый в Section 4.2) упоминает формулу объёма единичной  \( n \)-сферы как аргумент в пользу \( \pi \):

\begin{equation} \label{eq:unit_n_sphere_pi} \frac{\sqrt{\pi}^{n} }{\Gamma(1 + \frac{n}{2})}, \end{equation}

где гамма-функция задана Ур. (11). Ур. (14) это частный случай формулы с радиусом, который обычно записывается, используя \( \pi \):

\begin{equation} \label{eq:n_sphere_pi} V_n(r) = \frac{\pi^{n/2} r^n}{\Gamma(1 + \frac{n}{2})}. \end{equation}

Так как \( V_n(r) = \int S_n(r)\,dr \), из этого мы получаем \( S_n(r) = dV_n(r)/dr \), что означает, что площадь поверхности может быть записана следующим образом:

\begin{equation} \label{eq:n_sphere_pi_r} S_n(r) = \frac{n \pi^{n/2} r^{n-1}}{\Gamma(1 + \frac{n}{2})}. \end{equation}

Вместо того, чтобы просто принять эти формулы за чистую монету, давайте попытаемся их распутать, чтобы пролить больше света на вопрос \( \pi \) против \( \tau \). Мы начнём наш анализ с того, что заметим, что видимая простота формул сверху это иллюзия: хотя гамма-функцию легко записать символами, она на самом деле является интегралом по полу-бесконечной области определения, что совсем не является простой идеей. К счастью, гамма-функция может быть упрощена для некоторых частных случаев. Например, когда \( n \) целое число, легко показать (используя интегрирование по частям), что

\[ \Gamma(n) = (n-1)(n-2)\ldots 2\cdot 1 = (n-1)! \]

С этой точки зрения, \( \Gamma \) может быть интерпретирована как обобщение функции факториала для вещественных аргументов.19

В формулах для площади поверхности и объёма \( n \)-сферы, аргумент \( \Gamma \) не обязательно целое число, но \( \left(1 + \frac{n}{2}\right) \), которое целое число когда \( n \) чётное число, и половина целого числа, когда \( n \) нечётное число. Учитывая это даёт следующее выражение, которое взято из стандартного математического ресурса, Wolfram MathWorld, и оно как обычно записано используя \( \pi \):

\begin{equation} \label{eq:surface_area_mathworld} S_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2\pi^{n/2}\,r^{n-1}}{(\frac{1}{2}n - 1)!} & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ \displaystyle \frac{2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} \end{equation}

Интегрирование по \( r \) даёт

\begin{equation} \label{eq:volume_mathworld} V_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\pi^{n/2}\,r^n}{(\frac{n}{2})!} & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ \displaystyle \frac{2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}\,r^n}{n!!} & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} \end{equation}

Давайте изучим Ур. (18) более детально. Сначала заметьте, что MathWorld использует функцию двойного факториала \( n!! \) — но, странным образом, она используется только для нечётного случая. (Это намёк на то, что последует дальше.) Функция двойного факториала, хоть и редко встречающаяся в математике, является элементарной: она такая же, как и обычная функция факториала, но включает в себя вычитание по \( 2 \) вместо \( 1 \), так что, к примеру, \( 5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 \) и \( 6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 \). В общем, мы имеем

\begin{equation} \label{eq:double_factorial} n!! = \begin{cases} n(n-2)(n-4)\ldots6\cdot4\cdot2 & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ n(n-2)(n-4)\ldots5\cdot3\cdot1 & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} \end{equation}

(По определению, \( 0!! = 1!! = 1 \).) Заметьте, как Ур. (19) естественным образом делится на чётные и нечётные частные случаи, делая решение MathWorld использовать эту функцию только для нечётного случае ещё более загадочным.

Чтобы разгадать эту загадку, мы начнём с более тщательного изучения формулы для нечётных \( n \) в Ур. (18):

\[ \frac{2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}\,r^n}{n!!} \]

После того, как мы исследуем выражение

\[ 2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}, \]

мы заметим, что его можно перезаписать как

\[ 2(2\pi)^{(n-1)/2}, \]

и здесь мы узнаём нашего старого друга \( 2\pi \).

Теперь, давайте взглянем на чётный случай в Ур. (18). Мы заметили сверху странность, использование обыкновенного факториала для чётного случая и двойного факториала для нечётного случая. Конечно, потому что двойной факториал уже определён частями, если мы объединим формулы используя \( n!! \) в обоих случаях, мы сможем вытащить его как общий множитель:

\[ V_n(r) = \frac{1}{n!!}\times \begin{cases} \ldots & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ \ldots & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} \]

Так есть ли какая-либо связь между факториалом и двойным факториалом? Да — когда \( n \) чётное, обе функции связаны следующим уравнением:

\[ \left(\frac{n}{2}\right)! = \frac{n!!}{2^{n/2}}. \]

(В этом легко убедиться с помощью математической индукции.) Подставляя это в формулу объёма для чётных \( n \) даёт нам

\[ \frac{2^{n/2}\pi^{n/2}\,r^n}{n!!}, \]

что очень сильно похоже на

\[ \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{n!!}, \]

и опять, мы находим ещё один множитель \( 2\pi \).

Объединив эти результаты воедино, мы видим, что Ур. (18) может быть перезаписано как

\begin{equation} \label{eq:volume_2pi} V_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{n!!} & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{n!!} & \text{если } n \text{ нечётное} \end{cases} \end{equation}

и Ур. (17) может быть перезаписано как

\begin{equation} \label{eq:surface_area_2pi} S_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & \text{если } n \text{ нечётное.} \end{cases} \end{equation}

Делая подстановку \( \tau=2\pi \) в Ур. (21) даёт нам

\[ S_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\tau^{n/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ \displaystyle \frac{2\tau^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & \text{если } n \text{ нечётное.} \end{cases} \]

Чтобы объединить эти формулы далее, мы можем использовать функцию пола\( \lfloor x \rfloor \), которая просто даёт самое большое целое число меньше или равное \( x \) (равносильно отрезанию дробной части, то есть, например, \( \lfloor 3.7 \rfloor = \lfloor 3.2 \rfloor = 3 \)). Это даёт

\[ S_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ \displaystyle \frac{2\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & \text{если } n \text{ нечётное}, \end{cases} \]

что позволяет нам записать формулу следующим образом:

\begin{equation} \label{eq:surface_area_tau} S_n(r) = \frac{\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^{n-1}}{(n-2)!!}\times \begin{cases} 1 & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ 2 & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} \end{equation}

Интегрирование Ур. (22) по \( r \) даёт нам

\begin{equation} \label{eq:volume_tau} V_n(r) = \frac{\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^n}{n!!}\times \begin{cases} 1 & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ 2 & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} \end{equation}

Лямбда

Формулы в Ур. (22) и Ур. (23) представляют собой большое улучшение над изначальной формулировкой (Ур. (17) и Ур. (18)), использовавшей \( \pi \). Но на самом деле, ещё одно улучшение возможно, используя прямой угол:20

\begin{equation} \label{eq:lambda} \lambda = \frac{\tau}{4}. \end{equation}

Как мы увидим в Разделе 5.2, Ур. (24) может быть перезаписано в более естественной форме используя симметрии окружности:

\begin{equation} \label{eq:tau_lambda} \tau = 2^2 \lambda, \end{equation}

где множитель \( 2^2 \) появляется из-за \( 2^2 \) конгруэнтных дуг окружности (по одной из каждой четверти) в двумерном пространстве.

Самый большой плюс \( \lambda \) заключается в том, что она полностью объединяет чётные и нечётные случаи в Ур. (22) и Ур. (23), у каждого из которых есть множитель \( \tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \). Делая подстановку в Ур. (25) даёт нам

\[ \tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} = (2^2\lambda)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} = 2^{2\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} = \lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\times \begin{cases} 2^n & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ 2^{n-1} & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} \]

Это означает, что мы можем переписать произведение

\[ \tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\times \begin{cases} 1 & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ 2 & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} \]

как

\begin{equation} \label{eq:prefactor} \lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \times \begin{cases} 2^n & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ 2^{n-1} & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} \times \begin{cases} 1 & \text{если } n \text{ чётное}; \\ \\ 2 & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases} = 2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}, \end{equation}

что убирает явную зависимость от чётности. Применяя Ур. (26) к Ур. (22) и Ур. (23) даёт нам

\begin{equation} \label{eq:surface_area_lambda} S_n(r) = \frac{2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} \end{equation}

и

\begin{equation} \label{eq:volume_lambda} V_n(r) = \frac{2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^n}{n!!}. \end{equation}

Похоже, цена упрощений в Ур. (27) и Ур. (28) это множитель \( 2^n \), но даже у этого есть прозрачное геометрическое значение: сфера в \( n \) измерениях естественным образом делится на  \( 2^n \) конгруэнтных кусков, соответствующих \( 2^n \) семей решений к уравнению \( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = r^2 \) (по одному для каждого выбора \( \pm x_i \)). В двух измерениях, это дуги окружности в каждом из четырёх квадрантов; в трёх измерениях, это секторы сферы в каждой октанте; и так далее для измерений выше. Другими словами, мы можем использовать симметрию сферы в своих интересах, вычислив площадь окружности или объём одного куска — обычно главной части где \( x_i > 0 \) для каждого \( i \) — и потом найти полное значение, умножив на \( 2^n \).

Насколько мне известно, Ур. (27) и Ур. (28) самые простые возможные формуляции формул площади поверхности и объёма сферы (и конечно единственные формуляции, которые я когда либо мог хорошо запомнить). Рассмотрим, в частности, формулу объёма: несмотря на ложную простоту Ур. (15), Ур. (28) не использует никаких крутых интегралов — только немного экзотические, но всё же элементарные функции пола и двойного факториала. Объём единичной \( n \)-сферы это просто объём каждого симметричного куска, \( \lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}/n!! \), умноженный на количество кусков, \( 2^n \).

Рекуррентные формулы

Мы уже увидели, благодаря Eq. (27) и Eq. (28), что формулы площади поверхности и объёма записываются в самой простой форме используя прямой угол \( \lambda \). Тем не менее, мы ещё не закончили с \( \tau \).

Как видно из Ур. (28), формула объёма естественным образом делится на две семьи, каждая соответвующая чётно- и нечётно-мерным пространствам, соответственно. Это означает что четырёхмерный объём, \( V_4 \), простым образом относится к \( V_2 \) , но не к \( V_3 \), в то время как \( V_3 \) относится к \( V_1 \) , но не к \( V_2 \). Как именно они относятся друг к другу?

Мы можем найти ответ, если выведем рекуррентные отношения между измерениями.21 В частности, давайте поделим объём \( n \)-мерной сферы на объём для \( (n-2) \)-мерной сферы:

\begin{equation} \label{eq:volume_recurrence} \frac{V_n(r)}{V_{n-2}(r)} = \frac{2^n}{2^{n-2}} \frac{\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{\lambda^{\left\lfloor \frac{n-2}{2} \right\rfloor}} \frac{(n-2)!!}{n!!} \frac{r^{n}}{r^{n-2}} = \frac{2^2\lambda}{n}\,r^2. \end{equation}

Мы видим из Ур. (29), что мы можем получить объём \( n \)-сферы просто умножив формулу для \( (n-2) \)-сферы на \( r^2 \) (множитель, который требует анализ размерности), поделив на \( n \), и умножив на “константу рекуррентных отношений” \( 2^2\lambda \).

Похожим образом, для площади поверхности мы имеем

\begin{equation} \label{eq:surface_area_recurrence} \frac{S_n(r)}{S_{n-2}(r)} = \frac{2^n}{2^{n-2}} \frac{\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{\lambda^{\left\lfloor \frac{n-2}{2} \right\rfloor}} \frac{(n-2-2)!!}{(n-2)!!} \frac{r^{n}}{r^{n-2}} = \frac{2^2\lambda}{n-2}\,r^2, \end{equation}

с такой же константой рекуррентных отношений \( 2^2\lambda \).

Таким образом, как в Ур. (29),так и в Ур. (30), константа связывающая разные измерения это не сама \( \lambda \), а комбинация \( 2^2\lambda \). Сравнивая с Ур. (25), мы видим что это ничто иное как \( \tau \)! Конечно, альтернативное выведение рекуррентных отношений объёма прямым вычислением (где используется \( R \) вместо нашего \( r \)) заканчивается интегралом

\begin{align} \label{eq:integral_recurrence} V_n(R) &= \int_0^{2\pi} \int_0^R V_{n-2}\left(\sqrt{R^2 - r^2}\right) \,r\,dr\,d\theta \nonumber \\ &= 2\pi V_{n-2}(R) \cdot \left[-\frac{R^2}{n}\left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2\right)^\frac{n}{2}\right]_{r=0}^{r=R} \\ &= \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}(R), \nonumber \end{align}

таким образом показывая, что приравнивание \( \tau \) к "константе рекуррентных отношений" не совпадение — константа рекуррентных отношений и константа окружности на самом деле одно и то же:

\[ \tau = \mbox{константа окружности} = \mbox{константа рекуррентных отношений} = 2^2\lambda. \]

Как следствие, это \( \tau \), а не \( \lambda \), который является общей нитью, связывающей вместе две семьи чётных и нечётных решений, как показано Джозефом Линдербергом в Tau Before It Was Cool (Картинка 16).22

images/figures/Nspheres
Картинка 16: Рекуррентные формулы для площади поверхности и объёма.

Когда мы будем обсуждать \( n \)-мерные сферы в общем, для удобства мы будем писать формулы для площади поверхности и объёма используя \( \lambda \), как в Ур. (27) и Ур. (28), но для любого конкретного \( n \) мы запишем эти результаты используя константу рекуррентных отношений \( \tau \).

5.2 Три семьи констант

Вооружённые инструментами, разработанными в Разделе 5.1, мы теперь готовы тщательно изучить \( \pi \) и \( \tau \). Чтобы закончить наше расследование, мы будем использовать Ур. (27) и Ур. (28), чтобы определить две семьи констант, а потом будем использовать определение \( \pi \) (Ур. (1)), чтобы определить третью семью, таким образом показывая то, что на самом деле не так с \( \pi \).

Во-первых, мы определим семью "констант площади поверхности"\( \tau_n \) , разделив Ур. (27) на \( r^{n-1} \), степень \( r \) нужна, чтобы получить безразмерную константу:

\begin{equation} \label{eq:surface_area_constants} \tau_n \equiv \frac{S_n(r)}{r^{n-1}} = \frac{2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{(n-2)!!} \end{equation}

Во-вторых, мы определим семью "констант объёма" \( \sigma_n \) , разделив формулу объёма Eq. (28) на \( r^n \):

\begin{equation} \label{eq:volume_constants} \sigma_n \equiv \frac{V_n(r)}{r^n} = \frac{2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{n!!}. \end{equation}

С двумя семьями констант, определённых в Ур. (32) and Ур. (33), мы можем записать формулы площади поверхности и объёма (Ур. (27) и Ур. (28)) компактно следующим образом:

\[ S_n(r) = \tau_n\,r^{n-1} \]

и

\[ V_n(r) = \sigma_n\,r^n. \]

Из-за отношения \( V_n(r) = \int S_n(r)\,dr \), у нас есть простое отношение

\[ \sigma_n = \frac{\tau_n}{n}. \]

Давайте сделаем некоторые наблюдения об этих двух семьях констант. У семьи \( \tau_n \) есть важное геометрическое значение: задав \( r=1 \) в Ур. (32), мы видим, что каждый \( \tau_n \) это площадь поверхности единичной \( n \)-сферы, что одновременно является угловым измерением всей \( n \)-сферы. В частности, записав \( s_n(r) \) как \( n \)-мерную “длину дуги” равной доли \( f \) полной площади поверхности \( S_n(r) \), мы получаем

\[ \theta_n \equiv \frac{s_n(r)}{r^{n-1}} = \frac{f S_n(r)}{r^{n-1}} = f\left(\frac{S_n(r)}{r^{n-1}}\right) = f\tau_n. \]

Здесь \( \theta_n \) это просто \( n \)-мерное обобщение измерения углов в радианах, и мы видим, что \( \tau_n \) это обобщение “одного оборота” до \( n \) измерений, что в свою очередь объясняет почему константа 2-сферы (окружности) \( \tau_2 = 2^2\lambda = \tau \) естественным образом ведёт к диаграмме, показанной на Картинке 10. Более того, мы поняли в Разделе 5.1, что \( \tau_2 \) также является "константой рекуррентных отношений” для площади поверхности и объёма \( n \)-сферы.

В то же время, все \( \sigma_n \) это объёмы единичных \( n \)-сфер. В частности, \( \sigma_2 \) это площадь единичного круга:

\[ \sigma_2 = \frac{\tau_2}{2} = \frac{\tau}{2}. \]

Это показывает, что у  \( \sigma_2 = \tau/2 = 3.14159\ldots \) на самом деле есть независимая геометрическая важность. Всё же заметьте, что у этого числа нету ничего общего с длинами окружностей или диаметрами. Другими словами, \( \pi = C/D \) не является членом семьи \( \sigma_n \).

Так к какой семье констант естественным образом относится \( \pi \)? Давайте перепишем Ур. (1) используя то, что мы знаем об обобщении в произвольные измерения:

\[ \pi = \frac{C}{D} = \frac{S_2}{D^{2-1}}. \]

Таким образом, мы видим, что \( \pi \) естественным образом ассоциирован с площадями поверхностей, поделёнными на степень диаметра, необходимую чтобы получить безразмерную константу. Это приводит к созданию третьей семьи констант \( \pi_n \):

\begin{equation} \label{eq:diameter_constants} \pi_n \equiv \frac{S_n(r)}{D^{n-1}}. \end{equation}

Мы можем выразить это через семью \( \tau_n \) подставив \( D = 2r \) в Ур. (34) и применив Ур. (32):

\[ \pi_n = \frac{S_n(r)}{D^{n-1}} = \frac{S_n(r)}{(2r)^{n-1}} = \frac{S_n(r)}{2^{n-1}r^{n-1}} = \frac{\tau_n}{2^{n-1}}. \]

Мы сейчас, наконец, можем понять что в точности не так с \( \pi \). Главный геометрический смысл \( 3.14159\ldots \) это то, что это площадь единичной окружности. Но это число появляется от нахождения значения \( \sigma_n = \tau_n/n \) когда \( n=2 \):

\[ \sigma_2 = \frac{\tau_2}{2} = \frac{\tau}{2}. \]

Это на самом деле равно \( \pi_2 \):

\[ \pi_2 = \pi = \frac{\tau_2}{2^{2-1}} = \frac{\tau}{2}. \]

Но это равенство совпадение: оно происходит только потому что \( 2^{n-1} \) равен \( n \) когда \( n=2 \) (то есть, \( 2^{2-1} = 2 \)). Во всех других измерениях, \( n \) и \( 2^{n-1} \) разные числа. Другими словами, геометрическая важность \( \pi \) это результат математической шутки.

6 Заключение

В течение последних нескольких лет, я слышал много доводом против неправильности \( \pi \) и против правильности \( \tau \), так что перед тем, как я завершу наше обсуждение, позвольте мне ответить на некоторые из самых задаваемых вопросов.

6.1 Часто Задаваемые Вопросы

  • Ты серьёзно? Конечно. Ну, мне это всё очень интересно и иногда мой тон немного шуточный, но у меня существует серьёзная цель. Определить константу окружности как длину окружности, делённую на диаметр это неуклюжее и запутанное решение. Хотя я бы хотел, чтобы математики поменяли своё мнение, я не очень о них беспокоюсь, ибо они будут пожинать плоды: как замечено в Разделе 2.1, \( \pi \) это педагогическая катастрофа. Попытайтесь объяснить двенадцатилетнему (или тридцатилетнему) почему угол для восьмой части окружности — один кусок пиццы — это \( \pi/8 \). Погодите, я имел ввиду \( \pi/4 \). Теперь понимаете? Это безумство — сущее, чистейшее безумство.
  • Как мы сможем переключиться с \( \pi \) на \( \tau \)? В следующий раз когда вы будете писать что-то, что использует константу окружности, просто скажите “Для удобства, пусть \( \tau = 2\pi \)”, и продолжайте. (Конечно, это может вызвать вопрос, “Зачем тебе так делать?”, и я признаюсь, что хорошо было бы, если бы был бы сайт, на который им можно было бы указать. Если бы только кто-то написал бы, не знаю, манифест на эту тему…) Один из способов, которым можно заставить людей использовать \( \tau \) это начать использовать его самому или самой.
  • Не поздно ли переключиться? Нужно же будет переписывать все учебники и математические научные работы? Ответ "нет" на оба вопроса. Правда, есть некоторые вещи, которые, к сожалению, поменять уже нельзя. Например, выбор Бенджамина Франклина относительно знаков электронных зарядов приводит к самому известному примеру того, что электрический ток (в частности, свободные электроны в металлах) по определению положительные, в то время как носители тока отрицательные, и наоборот — таким образом, с тех пор проклиная начинающих учеников в физике путающими отрицательными знаками.23 Чтобы это поменять, нужно будет переписать все учебники (и сжечь старые), так как невозможно с первого взгляда понять, какому правилу следовать. Хотя и переопределить \( \pi \) практически невозможно, мы можем переключиться с \( \pi \) на \( \tau \) на ходу, используя подстановку
    \[ \pi \leftrightarrow \textstyle{\frac{1}{2}}\tau. \]

    Вся "проблема" заключается в этой механической подстановке, полностью ясной и конечно же полностью обратимой. Переключение с \( \pi \) на \( \tau \) может случится медленно. В отличии от переопределения, всё не происходит в один момент.

  • Не запутает ли использование \( \tau \) людей, особенно учеников? Если ты достаточно умён, чтобы понять радианы, ты достаточно умён, чтобы понять \( \tau \) — и почему \( \tau \) на самом деле менее путающая идея, чем \( \pi \). Также, нету ничего фундаментально путающего о том, чтобы сказать “Пусть \( \tau = 2\pi \)”; в узком понимании, это простая подстановка. В конце концов, мы можем принять ситуацию как возможность для учителя: идея о том, что \( \pi \) может быть неправильным числом интересна и ученики могут попытаться перевести уравнения из своих учебников с \( \pi \) на \( \tau \) чтобы понять, какой выбор лучше.
  • Важно ли это вообще? Конечно важно. Константа окружности важна. Для людей она достаточно важна чтобы написать целые книги на эту тему, чтобы праздновать эту константу в определённый день в году, и чтобы запоминать десятки тысяч её цифр. Мне она важна достаточно, чтобы написать целый манифест, и вам она достаточно важна, чтобы его прочитать. Именно из за того, что константа окружности на самом деле важна, трудно признать, что текущий выбор неправильный. (Ну, как объяснить Райвир Мина, кто поставил мировой рекорд, что он только что вспомнил 67,890 цифр половины истинной константы окружности?) Так как константа окружности важна, важен её правильный выбор, и в этом манифесте мы увидели, что этот выбор \( \tau \). Хотя у числа \( \pi \) есть большая историческая значимость, maтематическая важность \( \pi \) заключается в том, что это число равно половине \( \tau \).
  • Почему  изначально начали использовать \( \pi \)? Как символ, \( \pi \) был популяризирован около 300 лет назад Леонардом Эйлером (основываясь на работе Уильяма Джонса), но истоки \( \pi \)-как-числа потеряны в тумане времени. Я подозреваю, что использование \( C/D \) вместо \( C/r \) стало более популярным просто потому что проще измерить диаметр круглого предмета, чем измерить его радиус. Но из этого не выходит хорошая математика, и я удивлён что Архимед, который известен тем, что он дал хорошее приближение константы окружности, не осознал, что \( C/r \) это более фундаментальное число. Я даже больше удивлён, что Эйлер не исправил проблему, когда у него была такая возможность; в отличие от Архимеда, у Эйлера было преимущество современной системы алгебраической записи, которая (как мы увидели начиная с Раздела 2.1) делает отношения между окружностями и константой окружности предельно ясными. Удивительным образом, Эйлер использовал символ \( \pi \) как для \( C/D \), так и для \( C/r \) в разные времена! Как жалко, что он не стандартизировал более правильный выбор.
  • Почему эта тема тебе интересна? Для начала, как искатель истины мне важна правильность объяснения. Во-вторых, как учитель мне важна ясность идей. В-третьих, как человек, изучающий историю и человеческую натуру, я нахожу удивительным тот факт, что абсурдность с \( \pi \) лежала у всех перед носом веками перед тем, как кто-то её заметил. Более того, многие из людей, которые пропустили истинную константу окружности одни из самых рациональных и умных людей, которые когда либо жили. Что ещё может смотреть нам прямо в лицо, прося быть найденным?
  • Ты что, типа, сумасшедший? Это на самом деле не ваше дело, но нет. Не считая то, что я иногда ношу необычную обувь, по всем остальным внешним признакам я абсолютно нормален. Вы бы никогда не угадали, что в дополнение к тому, что я обыкновенный гражданин, я ещё на самом деле и пресловутый математический пропагандист.

6.2 Прими тау

Мы увидели в манифесте тау, что естественный выбор для константы окружности это отношение длины окружности не к её диаметру, а к её радиусу. Этому числу нужно название, и я надеюсь что вы присоединитесь ко мне, и будете называть её \( \tau \):

\[ \mbox{константа окружности} = \tau \equiv \frac{C}{r} = 6,283185307179586\ldots \]

Использование естественно, мотивация ясна, следствия глубоки. Плюс, вместе с ним ещё идёт очень крутая диаграмма (Картинка ). Мы видим в Картинке 17 движение через янь (“светлое, белое, движение вверх”) до \( \tau/2 \) и возвращение через инь (“тёмное, чёрное, движение вниз”) обратно к \( \tau \).24 Использование \( \pi \) вместо \( \tau \) это как янь без иня.

images/figures/tauism_rotated
Картинка 17: Следователи \( \tau \)изма ищут путь \( \tau \).

6.3 День тау

Манифест тау впервые был выпущен на день тау: июнь, 28 число (6/28), 2010 года. День тау это время для празднования всего связанного с математикой.25 Если вы бы хотели получать обновления о \( \tau \), включая оповещения о возможных будущих событиях дня тау, пожалуйста присоединитесь к почтовой рассылке манифеста тау внизу. И если вы думаете, что круглые испечённые вкусности на день пи(рога) вкусные, только погодите — на день тау в два раза больше (пи)рога!

Share the τ Manifesto

Благодарности

Сначала я хотел бы поблагодарить Боба Палэя за написание статьи “\( \pi \) Is Wrong!”. Я не помню, насколько глубоки были мои подозрения касательно \( \pi \) перед тем как я прочёл эту статью, но “\( \pi \) Is Wrong!” определённо открыла мне глаза, и каждый раздел манифеста тау это моя благодарность Бобу. Я бы также хотел поблагодарить его за полезные комментарии на тему этого манифеста.

Я думал о манифесте тау достаточно долго, и многие идеи, представленные здесь были разработаны с помощью общения с моим другом Сумитом Дафтуаром. Его идеи как учителя и математика повлияли на моё мышление различными образами.

Я также получил поддержку и полезный фидбэк от нескольких читателей. Я бы хотел поблагодарить Вай Харт и Майкла Блэйка за их удивительные видео, вдохновлённые \( \tau \), а также Дона "Blue" МакКонелла и Скону Бриттан за помощь в том, что они сделали \( \tau \) частью культуры гиков (с помощью приложения time-in-\( \tau \) -для-iPhone и часы тау, соответственно). Приятная интерпретация символа инь-яня, использованная в манифесте тау заслуга Питера Хэрримоэса, который (как уже было замечено выше) был единственным, кто независимо предложил использовать \( \tau \) для константы окружности. Ещё один до–манифеста тау тауист, Джозеф Линдерберг, также был стойкой поддержкой, и я очень ценю его энтузиазм. Я получил несколько хороших предложений от Кристофера Ола, в частности относительно геометрической интерпретации тождества Эйлера, и Раздел 2.3.2 про тождества Эйлера был вдохновлён отличным предложением от Тимоти "Patashu" Стайлса. Дон Блахита предвидел и вдохновил некоторую часть материала про гиперсферы, и Джон Кодегадуло собрал весь материал вместе исключительно ясным и весёлым образом. Потом Джефф Корнелл, с его замечанием о важности \( \tau/4 \) в этом контексте, потряс мою веру и взорвал мне мозг.

В конце концов, я бы хотел поблагодарить Уаятта Грина за его необычайный полезный фидбэк на версию манифеста перед запуском; помимо других вещей, если вам нужен кто-то, кто скажет, что "почти весь [ныне убранный] раздел 5 полное дерьмо", Уаятт готов помочь.

Об авторе

Майклу стыдно признать, что он знает 50 первых цифр \( \pi \)примерно на 48 больше, чем Мэтт Гронинг. Чтобы сбросить с души грех, он выучил 52 первые цифры \( \tau \).

1. Palais, Robert.\( \pi \) Is Wrong!”, The Mathematical Intelligencer, Volume 23, Number 3, 2001, pp. 7–8. Многие из аргументов в манифесте тау основаны на или вдохновлены статьёй “\( \pi \) Is Wrong!”. Она доступна онлайн по адресу http://bit.ly/pi-is-wrong.
2. Символ \( \equiv \) означает "определёно как".
3. Изображение взято из Wikimedia на 2019-03-12. Копирайт © 2016 пользователь Ruleroll и использовано в неизменной форме под лицензией Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International.
4. Видео из Картинки 5 (доступно по адресу http://vimeo.com/12914981) это кадр из лекции, данной Доктором Сэрой Гринвальд, профессором математики в Appalachian State University. Доктор Гринвальд использует отсылки к математике в Симпсонах и Футураме чтобы привлечь интерес её студентов и помочь им избавиться от математической тревоги. Она также создатель Futurama Math Page.
5. Здесь \( B_n \) это \( n \)'ое число Бернулли.
6. Эти графики были созданы с помощью Wolfram|Alpha.
7. Здесь я неявно определяю тождество Эйлера как комплексный экспоненциал константы окружности, а не комплексный экспоненциал какого-то конкретного числа. Если мы выберем \( \tau \) как константу окружности, мы получим показанное тождество. Как мы скоро увидим, это не традиционная форма тождества, в которой конечно фигурирует \( \pi \), но версия с \( \tau \) это самая математически значимое утверждение этого тождества, поэтому я считаю, что оно заслуживает имя.
8. Формально, все математические теоремы тавтологии, так что давайте не будем такими педантичными.
9. Возможно, вы видели это в форме \( F = -kx \). В этом случае, \( F \) это сила которая создаётся пружиной. Согласно третьему закону Ньютона, внешняя сила описанная выше это сила противостоящая силе пружины.
10. Спасибо читателю манифеста тау Джиму Портеру за то что он рассказал мне про эту интерпретацию.
11. Линденберг включил его оригинальную работу, напечатанную на печатной машинке и много других аргументов на своём сайте Tau Before It Was Cool.
12. Возможно в один день академические математики придут к консенсусу на тему другого символа для \( 2\pi \); если это когда-нибудь произойдёт, я резервирую за собой право поддержать их предложенный символ. Но у них было 300 лет, чтобы исправить эту проблему с \( \pi \), поэтому я не очень надеюсь.
14. Эта альтернатива для момента силы уже используется, см., например Introduction to Electrodynamics, автор David Griffiths, с. 162.
15. См., например, An Introduction to Quantum Field Theory, авторы Peskin и Schroeder, где \( \pi \) используется для обозначения константы окружности и для “conjugate momentum” на одной и той же странице (с. 282).
16. Это обсуждение основано на отличном комментарии Джона Кодегадуло на spikedmath.com.
17. Геометры и топологи используют несовместимые определения гиперсфер; в этом обсуждении используется определение геометров.
18. Это логично, так как у точки нету границы, т.е. граница точки это пустое множество.
19. Конечно, обобщение до комплексных аргументов просто: просто заменить вещественный \( x \) комплексным \( z \) в Ур. (11).
20. Это изменение системы обозначений и общий анализ были предложены Джеффом Корнеллом.
21. Статья “The volume of the unit ball in n dimensions”, написанная Phanuel A. Mariano содержит альтернативное выведение этих важных рекуррентных уравнений.
22. В Tau Before It Was Cool написана рекуррентная формула, использующая \( 2\pi \); версия, показанная в Картинке 16 была создана для меня по особой просьбе. Как всегда, я благодарен Джозефу Линденбергу за его непрекращающуюся щедрость и помощь.
23. Знак носителей тока не мог быть определён с помощью технологий времени Фрэнклина, поэтому это не его вина. Просто не повезло.
24. Интерпретации иня и яня здесь из книги Zen Yoga: A Path to Enlightenment though Breathing, Movement and Meditation, автор Aaron Hoopes.
25. Так как 6 и 28 первые два  совершенных числа, 28 июня на самом деле совершенный день.