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Le Manifeste de tau

Michael HartlTraduit par Daniel Rosen et Alexis Drai

Jour de tau 2010mis à jour le Jour de tau 2020

1 La constante du cercle

Le Manifeste de tau est dédié à l’un des nombres les plus importants en mathématiques, peut-être le plus important : la constante du cercle, qui relie la circonférence d’un cercle à sa dimension linéaire. Depuis des millénaires, le cercle est considéré comme la plus parfaite des formes, et la constante du cercle capture la géométrie du cercle dans un seul nombre. Bien sûr, le choix traditionnel pour la constante du cercle est \( \pi \) ; mais, comme le remarque le mathématicien Bob Palais dans son superbe article « \( \pi \) Is Wrong! » 1, \( \pi \) est faux. Il est temps de régler les choses.

1.1 Immodeste Proposition

On peut commencer à réparer les dommages causés par \( \pi \) en comprenant le nombre notoire lui-même. La définition traditionnelle pour la constante du cercle définit \( \pi \) (pi) comme égal au rapport de la circonférence d’un cercle (longueur) à son diamètre (largeur) 2.

\begin{equation} \label{eq:pi} \pi \equiv \frac{C}{D} = 3{,}141\,592\,65\ldots \end{equation}

Le nombre \( \pi \) a de nombreuses propriétés remarquables (entre autres, il est irrationnel et même transcendant) et sa présence dans les formules mathématiques est répandue.

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Figure 1: Anatomie d’un cercle.

Il va sans dire, je présume, que \( \pi \) n’est pas « faux » dans le sens où il est factuellement incorrect ; le nombre \( \pi \) est parfaitement bien défini, et il possède toutes les propriétés qui lui sont normalement attribuées par les mathématiciens. En disant que « \( \pi \) est faux », on veut dire que \( \pi \) est un choix déroutant et contre nature pour la constante du cercle. En particulier, un cercle est défini comme l’ensemble des points à une distance fixe, le rayon, d’un point déterminé, le centre (figure 1). Tandis qu’il existe une infinité de formes avec une largeur constante (figure 2) 3, il n’y a qu’une seule forme avec un rayon constant. Cela suggère qu’une définition plus naturelle de la constante du cercle pourrait utiliser \( r \) à la place de \( D \) :

\begin{equation} \label{eq:circle_constant} \mbox{constante du cercle} \equiv \frac{C}{r}. \end{equation}

Parce que le diamètre d’un cercle est le double de son rayon, ce nombre est numériquement équivalent à \( 2\pi \). Tout comme \( \pi \), il est transcendant et donc irrationnel, et (comme on le verra dans la section 2) son utilisation en mathématiques est également répandue.

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Figure 2: Une forme non circulaire à largeur constante (parmi une infinité).

Dans « \( \pi \) Is Wrong! », Bob Palais soutient de manière convaincante cette seconde définition de la constante du cercle ; et il mérite, à mon avis, la majorité du crédit pour avoir identifié ce problème et pour l’avoir présenté à un large public. Il nomme la vraie constante du cercle « un tour », et il introduit aussi un nouveau symbole pour la représenter (figure 3). Comme on le verra, la description est presciente, mais le symbole est malheureusement plutôt étrange et (comme on le mentionne dans la section 4) il semble peu probable qu’il soit largement adopté un jour. (Mise à jour : Ceci s’est avéré être le cas, et depuis, Palais lui-même est devenu un fervent partisan des arguments de ce manifeste.)

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Figure 3: Le symbole étrange de la constante du cercle de « \( \pi \) Is Wrong! ».

Le Manifeste de tau est dédié à avancer la proposition suivante : la bonne réponse à « \( \pi \) est faux » est « Non, mais vraiment ». Et la vraie constante du cercle mérite un nom approprié. Comme vous l’aurez probablement deviné, Le Manifeste de tau propose que ce nom soit la lettre grecque \( \tau \) (tau) :

\begin{equation} \label{eq:tau} \tau \equiv \frac{C}{r} = 6{,}283\,185\,307\,179\,586\ldots \end{equation}

Tout au long de ce manifeste, on verra que le nombre \( \tau \) est le bon choix, et l’on montrera par l’usage (section 2 et section 3) et par l’argumentation directe (section 4) que la lettre \( \tau \) est aussi un choix naturel.

1.2 Un ennemi puissant

Avant de procéder à la démonstration que \( \tau \) est le choix naturel pour la constante du cercle, reconnaissons d’abord ce à quoi nous devons faire face ; car il existe une grande conspiration, vieille de plusieurs siècles, déterminée à propager la propagande pro-\( \pi \). Des livres entiers sont écrits qui vantent les vertus de \( \pi \). (Sérieusement, des livres !) Et la dévotion irrationnelle à \( \pi \) s’est propagée même aux plus hauts niveaux de la culture geek ; par exemple, le « jour de pi » en 2010, Google a changé son logo pour honorer \( \pi \) (figure 4).

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Figure 4: Le logo Google le 14 mars (écrit 3/14 aux États-Unis ; « le Jour de pi ») 2010.

Pendant ce temps, certaines personnes mémorisent des dizaines, des centaines, voire des milliers de chiffres de ce nombre mystique. Qui-donc, sinon un raté, mémoriserait ne serait-ce que 40 chiffres de \( \pi \) (figure 5) 4 ?

Figure 5: Michael Hartl donne tort à Matt Groening en récitant 40 décimales de \( \pi \).

Assurément, les partisans de \( \tau \) font face à un adversaire puissant. Pourtant, nous avons un allié puissant, car la vérité est de notre côté.

2 Le nombre tau

Nous avons vu dans la section 1.1 que le nombre \( \tau \) peut aussi s’écrire \( 2\pi \). Comme Palais l’a remarqué dans « \( \pi \) Is Wrong! », il est donc d’un grand intérêt de découvrir que la combinaison \( 2\pi \) se produit avec une fréquence étonnante dans l’ensemble des mathématiques. Par exemple, on considère les intégrales sur tout l’espace en coordonnées polaires:

\[ \int_0^{2\pi}\int_0^\infty f(r, \theta)\, r\, dr\, d\theta. \]

La limite supérieure de l’intégration de \( \theta \) est toujours \( 2\pi \). Le même facteur apparaît dans la définition de la loi gaussienne (normale),

\[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \]

et à nouveau dans la transformation de Fourier,

\[ f(x) = \int_{-\infty}^\infty F(k)\, e^{2\pi ikx}\,dk \]
\[ F(k) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-2\pi ikx}\,dx. \]

Il revient dans la formule intégrale de Cauchy,

\[ f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz, \]

dans les racines \( n \)ièmes de l’unité,

\[ z^n = 1 \Rightarrow z = e^{2\pi i/n}, \]

et dans les valeurs de la fonction zêta de Riemann pour les entiers pairs positifs 5 :

\[ \begin{split} \zeta(2n) & = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}} \\ & = \frac{|B_{2n}|}{2(2n)!}\,(2\pi)^{2n},\qquad n = 1, 2, 3, \ldots \end{split} \]

Ces formules sont loin d’être les seuls exemples : prenez votre texte préféré de physique ou de mathématiques et essayez vous-même. Il en existe beaucoup d’autres et la conclusion est claire : il y a quelque chose de spécial dans \( 2\pi \).

Pour aller au fond de l’affaire, il faut revenir aux principes fondamentaux, en réfléchissant à la nature des cercles et surtout à la nature des angles. Bien qu’il soit probable qu’une grande partie de ce contenu soit familier, cela vaut la peine de le revoir, car c’est là que commence une véritable compréhension de \( \tau \).

2.1 Cercles et angles

Il y a une relation intime entre les cercles et les angles, comme le montre la figure 6. Puisque les cercles concentriques de la figure 6 ont des rayons différents, les droites de la figure coupent différentes longueurs d’arc, mais l’angle \( \theta \) (thêta) est le même dans chaque cas. En d’autres termes, la taille de l’angle ne dépend pas du rayon du cercle utilisé pour définir l’arc. La tâche principale d’une mesure d’angle est de créer un système qui capture cette invariance de rayon.

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Figure 6: Un angle \( \theta \) avec deux cercles concentriques.

L’unité de mesure d’angle la plus élémentaire est peut-être le degré, qui divise un cercle en 360 parties égales. Un resultat de ce système est l’ensemble des angles spéciaux (familiers aux étudiants en trigonométrie) montrés sur la figure 7.

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Figure 7: Des angles spéciaux, en degrés.

Un système plus fondamental de mesure d’angle implique une comparaison directe de la longueur d’arc \( s \) avec le rayon \( r \). Bien que les longueurs de la figure 6 diffèrent, la longueur de l’arc augmente proportionnellement au rayon, de sorte que le rapport de la longueur de l’arc au rayon est le même dans chaque cas :

\[ s\propto r \Rightarrow \frac{s_1}{r_1} = \frac{s_2}{r_2}. \]

Cela suggère la définition suivante de la mesure d’angle en radians:

\begin{equation} \label{eq:radians} \theta \equiv \frac{s}{r}. \end{equation}

Cette définition a la propriété requise d’invariance de rayon, et puisque \( s \) et \( r \) ont tous deux des unités de longueur, les radians sont sans dimension par construction. L’utilisation de la mesure d’angle en radians conduit à des formules succinctes et élégantes dans l’ensemble des mathématiques ; par exemple, la formule habituelle pour la dérivée de \( \sin\theta \) n’est vraie que lorsque \( \theta \) est exprimé en radians :

\[ \frac{d}{d\theta}\sin\theta = \cos\theta. \qquad\mbox{(seulement en radians)} \]

Naturellement, les angles spéciaux de la figure 7 peuvent être exprimés en radians, et lorsque vous avez appris la trigonométrie au lycée, vous avez probablement mémorisé les valeurs spéciales indiquées sur la figure 8. (J’appelle ce système de mesure « radians-de-\( \pi \) » pour souligner qu’ils sont écrits en termes de \( \pi \).)

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Figure 8: Des angles spéciaux, en radians-de-\( \pi \).
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Figure 9: Les angles « spéciaux » sont des fractions d’un cercle complet.

Un instant de réflexion montre que les angles dits « spéciaux » ne sont que des fractions rationnelles particulièrement simples d’un cercle complet, comme le montre la figure 9. Cela peut inspirer une révision de l’équation (4), en réécrivant la longueur d’arc \( s \) en termes de la fraction \( f \) de la circonférence complète \( C \), c’est-à-dire \( s = f C \) :

\[ \theta = \frac{s}{r} = \frac{fC}{r} = f\left(\frac{C}{r}\right) \equiv f\tau. \]

Vous remarquerez à quel point \( \tau \) ressort naturellement de cette analyse. Si vous croyez en \( \pi \), je crains que le diagramme des angles spéciaux (figure 10) qui résulte de la manipulation ci-dessus bouleverse votre foi profondément.

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Figure 10: Des angles spéciaux, en radians.

Bien qu’il existe de nombreuses autres justifications en faveur de \( \tau \), la figure 10 est peut-être l’une des plus frappantes. On voit aussi dans la figure 10 le génie dont Bob Palais a fait preuve en identifiant la constante du cercle comme « un tour » : \( \tau \) est la mesure d’angle en radians d’un tour de cercle. De plus, on remarque qu’avec \( \tau \) il n’y a rien à mémoriser : un douzième de tour est \( \tau/12 \), un huitième de tour est \( \tau/8 \), et ainsi de suite. L’utilisation de \( \tau \) nous donne le meilleur des deux mondes en combinant clarté conceptuelle avec tous les avantages concrets des radians ; la signification abstraite de, disons, \( \tau/12 \) est évidente, mais c’est aussi juste un nombre :

\[ \begin{split} \mbox{un}\; \mathrm{douzi\grave{e}me}\; \mbox{de tour} = \frac{\tau}{12} & \approx \frac{6{,}283\,185}{12} \\ & = 0{,}523\,598\,8. \end{split} \]

Enfin, en comparant la figure 8 à la figure 10, on voit d’où viennent ces fichus facteurs de 2\( \pi \) : un tour de cercle vaut 1\( \tau \), mais 2\( \pi \). Numériquement, ils sont égaux, mais conceptuellement, ils sont tout à fait distincts.

Les ramifications

Les facteurs de 2 inutiles qui résultent de l’utilisation de \( \pi \) sont assez ennuyeux en eux-mêmes, mais beaucoup plus grave est leur tendance à s’annuler lorsqu’ils sont divisés par un nombre pair. Les résultats absurdes, comme un demi-\( \pi \) pour un quart de tour, obscurcissent la relation sous-jacente entre la mesure d’angle et la constante du cercle. À ceux qui soutiennent que « peu importe » que l’on utilise \( \pi \) ou \( \tau \) pour enseigner la trigonométrie, je leur demande simplement de visualiser la figure 8, la figure 9 et la figure 10 à travers les yeux d’un enfant. Vous verrez que, du point de vue d’un débutant, l’utilisation de \( \pi \) au lieu de \( \tau \) est un désastre pédagogique.

2.2 Les fonctions circulaires

La mesure d’angle en radians nous donne certains des arguments les plus convaincants pour la vraie constante du cercle. Mais les vertus de \( \pi \) et de \( \tau \) méritent également d’être comparées dans d’autres contextes. Considérons tout d’abord les fonctions élémentaires importantes \( \sin\theta \) et \( \cos\theta \). Appelées « fonctions circulaires » parce qu’elles donnent les coordonnées d’un point sur le cercle unité (c’est-à-dire un cercle de rayon 1), le sinus et le cosinus sont les fonctions fondamentales de la trigonométrie (figure 11).

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Figure 11: Les fonctions circulaires sont des coordonnées sur le cercle unité.

Examinons les graphiques des fonctions circulaires pour mieux comprendre leur comportement6. On remarque sur la figure 12 et la figure 13 que les deux fonctions sont périodiques de période \( T \). Comme le montre la figure 12, la fonction sinus \( \sin\theta \) commence à zéro, atteint son maximum à un quart de période, passe par zéro à une demi-période, atteint son minimum aux trois quarts de période, puis revient à zéro après une période complète. Pendant ce temps, la fonction cosinus \( \cos\theta \) commence à son maximum, atteint son minimum à une demi-période, puis passe par zéro à un quart et trois quarts de période (figure 13).

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Figure 12: Points importants pour \( \sin\theta \) en termes de période \( T \).
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Figure 13: Points importants pour \( \cos\theta \) en termes de période \( T \).

Bien sûr, puisque le sinus et le cosinus passent tous les deux par un cycle complet pendant un tour du cercle, on a \( T = \tau \) ; c’est-à-dire que les fonctions circulaires ont des périodes égales à la constante du cercle. Par conséquent, les valeurs « spéciales » de \( \theta \) sont tout à fait naturelles : un quart de période est \( \tau/4 \), une demi-période est \( \tau/2 \), etc. En fait, en traçant la figure 12, à un moment donné, je me suis retrouvé à me demander quelle était la valeur numérique de \( \theta \) pour le zéro de la fonction sinus. Puisque le zéro se produit après une demi-période et \( \tau \approx 6{,}28 \), un calcul mental rapide a conduit au résultat suivant :

\[ \theta_\mathrm{z\acute{e}ro} = \frac{\tau}{2} \approx 3{,}14. \]

Eh oui : j’étais étonné de découvrir que j’avais déjà oublié que \( \tau/2 \) était parfois appelé « \( \pi \) ». Peut-être même que cela vient de vous arriver. Bienvenue au club.

2.3 L’identité d’Euler

Je serais négligent de ne pas aborder dans ce manifeste l’identité d’Euler, parfois appelée « la plus belle des équations mathématiques ». Cette identité emploie l’exponentiation complexe, qui est profondément liée à la fois aux fonctions circulaires et à la géométrie du cercle lui-même.

Selon l’approche choisie, l’équation suivante peut être prouvée comme théorème ou prise comme définition ; dans un cas comme dans l’autre, elle est vraiment remarquable :

\begin{equation} \label{eq:eulers_formula} e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \qquad\mbox{La formule d'Euler} \end{equation}

Connue sous le nom de formule d’Euler (d’après Leonhard Euler), cette équation relie une exponentielle à argument imaginaire aux fonctions circulaires (sinus et cosinus) et à l’unité imaginaire \( i \). Bien que justifier la formule d’Euler dépasse le cadre de ce manifeste, sa provenance est au-dessus de tout soupçon et son importance est incontestable.

L’évaluation de l’équation (5) à \( \theta = \tau \) nous donne l’identité d’Euler7 :

\begin{equation} \label{eq:eulers_identity_tau} e^{i\tau} = 1. \qquad\mathrm{Identit\acute{e}}\; \mbox{d'Euler (version de $\tau$)} \end{equation}

En toutes lettres, l’équation (6) fait l’observation fondamentale suivante :

L’exponentielle complexe de la constante du cercle est l’unité.

Géométriquement, la multiplication par \( e^{i\theta} \) correspond à la rotation d’un nombre complexe d’un angle \( \theta \) dans le plan complexe, ce qui suggère une seconde interprétation de l’identité d’Euler :

Une rotation d’un tour est égale à 1.

Puisque le nombre \( 1 \) est l’identité multiplicative, la signification géométrique de \( e^{i\tau} = 1 \) est que la rotation d’un point du plan complexe par un tour le ramène simplement à sa position d’origine.

Comme dans le cas de la mesure d’angle en radians, on voit à quel point l’association entre \( \tau \) et le tour d’un cercle est naturelle. En effet, relier \( \tau \) avec « un tour » fait que l’identité d’Euler ressemble presque à une tautologie 8.

Pas la plus belle des équations

Bien sûr, la forme traditionnelle de l’identité d’Euler est écrite en termes de \( \pi \) au lieu de \( \tau \). Pour le dériver, on commence en évaluant la formule d’Euler à \( \theta = \pi \), ce qui nous donne

\begin{equation} \label{eq:eulers_identity_pi} e^{i\pi} = -1. \qquad\mathrm{Identit\acute{e}}\; \mbox{d'Euler (version de $\pi$)} \end{equation}

Mais ce signe négatif est si moche que l’équation (7) est presque toujours réarrangée immédiatement, nous donnant la « belle » équation suivante :

\begin{equation} \label{eq:eulers_pi_rearranged} e^{i\pi} + 1 = 0. \qquad\mathrm{(r\acute{e}arrang\acute{e})} \end{equation}

À ce stade, le commentateur fait généralement une déclaration grandiose sur la façon dont l’équation (8) relie \( 0 \), \( 1 \), \( e \), \( i \) et \( \pi \), parfois appelés les « cinq nombres les plus importants en mathématiques ».

Dans ce contexte, il est remarquable de voir combien de personnes se plaignent que l’équation (6) ne relie que quatre de ces cinq nombres. Donc voilà :

\begin{equation} \label{eq:euler_tau_zero} e^{i\tau} = 1 + 0. \end{equation}

L’équation (9), sans réarrangement, relie en fait les cinq nombres les plus importants en mathématiques : \( 0 \), \( 1 \), \( e \), \( i \) et \( \tau \)9.

Identités eulériennes

Puisque l’on peut ajouter zéro n’importe où dans n’importe quelle équation, l’introduction de \( 0 \) dans l’équation (9) est un contrepoint quelque peu ironique à \( e^{i\pi} + 1 = 0 \) ; mais l’identité \( e^{i\pi} = -1 \) a un argument plus sérieux à faire valoir. Voyons ce qui se passe quand on la réécrit en termes de \( \tau \) :

\[ e^{i\tau /2} = -1. \]

Géométriquement, cela signifie qu’une rotation d’un demi-tour équivaut à une multiplication par \( -1 \). Et, en effet, c’est le cas : sous une rotation de \( \tau/2 \) radians, le nombre complexe \( z = a + ib \) est caractérisé par \( -a - ib \), qui est en fait juste \( -1\cdot z \).

Écrite en termes de \( \tau \), on voit que la forme « originale » de l’identité d’Euler (équation (7)) a une signification géométrique transparente qui lui fait défaut lorsqu’elle est écrite en termes de \( \pi \). (Bien sûr, \( e^{i\pi} = -1 \) peut être interprété comme une rotation par \( \pi \) radians, mais le réarrangement quasi-universel pour former \( e^{i\pi} + 1 = 0 \) montre comment l’utilisation de \( \pi \) nous distrait de la signification géométrique naturelle de l’identité.) Les identités en quart d’angle ont des interprétations géométriques similaires : en évaluant l’équation (5) à \( \tau/4 \), on obtient \( e^{i\tau/4} = i \), ce qui montre qu’un quart de tour dans le plan complexe équivaut à une multiplication par \( i \) ; de même, \( e^{i\cdot(3\tau/4)} = -i \) dit que les trois quarts de tour équivalent à la multiplication par \( -i \). Un résumé de ces résultats, que l’on appellera les identités eulériennes, figure dans le tableau 1.

Angle de rotation Identité eulérienne
\( 0 \) \( e^{i\cdot0} \) \( = \) \( 1 \)
\( \tau/4 \) \( e^{i\tau/4} \) \( = \) \( i \)
\( \tau/2 \) \( e^{i\tau/2} \) \( = \) \( -1 \)
\( 3\tau/4 \) \( e^{i\cdot(3\tau/4)} \) \( = \) \( -i \)
\( \tau \) \( e^{i\tau} \) \( = \) \( 1 \)
Tableau 1: Identités eulériennes pour les rotations d’un demi, d’un quart et complète.

On peut pousser cette analyse un peu plus loin en notant que, pour n’importe quel angle \( \theta \), \( e^{i\theta} \) peut être interprété comme un point situé sur le cercle unité dans le plan complexe. Puisque le plan complexe associe l’axe horizontal avec la partie réelle du nombre et l’axe vertical avec la partie imaginaire, la formule d’Euler indique que \( e^{i\theta} \) correspond aux coordonnées \( (\cos\theta,\sin\theta) \). Remplacer celles-ci dans l’équation (5) par les valeurs des angles « spéciaux » de la figure 10 nous donne ensuite les points indiqués dans le tableau 2, et le traçage de ces points dans le plan complexe nous donne la figure 14. Une comparaison de la figure 14 avec la figure 10 dissipe rapidement tout doute quant à celle des constantes du cercle qui révèle le mieux la relation entre la formule d’Euler et la géométrie du cercle.

Forme polaire Forme cartésienne Coordonnées
\( e^{i\theta} \) \( \cos\theta + i\sin\theta \) \( (\cos\theta, \sin\theta) \)
\( e^{i\cdot0} \) \( 1 \) \( (1, 0) \)
\( e^{i\tau/12} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \) \( (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \)
\( e^{i\tau/8} \) \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \)
\( e^{i\tau/6} \) \( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} i \) \( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( e^{i\tau/4} \) \( i \) \( (0, 1) \)
\( e^{i\tau/3} \) \( -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} i \) \( (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
\( e^{i\tau/2} \) \( -1 \) \( (-1, 0) \)
\( e^{i\cdot(3\tau/4)} \) \( -i \) \( (0, -1) \)
\( e^{i\tau} \) \( 1 \) \( (1, 0) \)
Tableau 2: Exponentielles complexes des angles spéciaux de la figure 10.
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Figure 14: Exponentielles complexes de certains angles spéciaux, tracées dans le plan complexe.

3 La superficie du cercle : le coup de grâce

Si vous êtes arrivé ici en tant que fidèle de \( \pi \), vous devez commencer à remettre en question votre foi. \( \tau \) est si naturel, sa signification si transparente… n’y a-t-il pas d’exemple où \( \pi \) brille d’une splendeur rayonnante ? Un souvenir refait surface. Oui, il existe une telle formule : c’est la formule de la superficie du cercle ! Observez :

\[ A = \tfrac{1}{4} \pi D^2. \]

Non, attends. La formule de la superficie est toujours écrite en termes du rayon, comme suit :

\[ A = \pi r^2. \]

On voit ici \( \pi \), sans fioritures, dans l’une des équations les plus importantes en mathématiques ; une formule prouvée pour la première fois par Archimède lui-même. L’ordre est rétabli ! Pourtant, le nom de cette section semble inquiétant… Si cette équation est le couronnement de \( \pi \), comment peut-elle aussi être le coup de grâce ?

3.1 Formes quadratiques

Examinons cet exemple parfait de \( \pi \), \( A = \pi r^2 \). On remarque qu’il implique le diamètre… non, le rayon ! élevé à la deuxième puissance. Cela en fait une forme quadratique simple. Ces formes surviennent dans de nombreux contextes ; je suis physicien, donc mes exemples préférés viennent du cursus de physique fondamentale. Nous allons maintenant en considérer plusieurs successivement.

Tomber dans un champ gravitationnel uniforme

Galilée a constaté que le vecteur vitesse d’un objet qui tombe dans un champ gravitationnel uniforme est proportionnel au temps tombé :

\[ v \propto t. \]

La constante de proportionnalité est l’accélération de la pesanteur \( g \) :

\[ v = g t. \]

Puisque le vecteur vitesse est la dérivée de la position, on peut calculer la distance tombée par intégration 10 :

\[ y = \int v\,dt = \int_0^t gt\,dt = \textstyle{\frac{1}{2}} gt^2. \]

Énergie potentielle dans un ressort linéaire

Robert Hooke a constaté que la force externe requise pour étirer un ressort est proportionnelle à la distance étirée :

\[ F \propto x. \]

La constante de proportionnalité est la constante de rappel \( k \)11 :

\[ F = k x. \]

L’énergie potentielle du ressort est alors égale au travail fourni par la force externe :

\[ U = \int F\,dx = \int_0^x kx\,dx = \textstyle{\frac{1}{2}} kx^2. \]

Énergie de mouvement

Isaac Newton a constaté que la force qui s’exerce sur un objet est proportionnelle à son accélération :

\[ F \propto a. \]

La constante de proportionnalité est la masse \( m \) :

\[ F = m a. \]

L’énergie de mouvement, ou l’énergie cinétique, est égale au travail total fourni en accélérant la masse au vecteur vitesse \( v \) :

\[ \begin{split} K = \int F\,dx = \int ma\,dx & = \int m\frac{dv}{dt}\,dx \\ & = \int m\frac{dx}{dt}\,dv \\ & = \int_0^v mv\,dv \\ & = \textstyle{\frac{1}{2}} mv^2. \end{split} \]

3.2 Un sentiment d’appréhension

Après avoir vu plusieurs exemples de formes quadratiques simples en physique, peut-être appréhendez-vous maintenant de retourner à la géométrie du cercle. Ce sentiment est justifié.

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Figure 15: Décomposer un cercle en anneaux.

Comme le montre la figure 15, on peut calculer la superficie d’un cercle en le décomposant en anneaux circulaires de longueur \( C \) et de largeur \( dr \), où la superficie de chaque anneau est \( C\,dr \) :

\[ dA = C\,dr. \]

La circonférence d’un cercle est proportionnelle à son rayon :

\[ C \propto r. \]

La constante de proportionnalité est \( \tau \) :

\[ C = \tau\,r. \]

La superficie du cercle est alors l’intégrale sur tous les anneaux :

\[ A = \int dA = \int_0^r C\,dr = \int_0^r \tau\,r\,dr = \textstyle{\frac{1}{2}} \tau\,r^2. \]

Si vous étiez encore partisan de \( \pi \) au début de cette section, votre tête vient d’exploser. Car on voit que même dans ce cas, où \( \pi \) soi-disant brille, il manque en fait un facteur de 2. En effet, la démonstration originale d’Archimède montre non pas que la superficie d’un cercle est \( \pi r^2 \), mais qu’elle est égale à la superficie d’un triangle rectangle de base \( C \) et de hauteur \( r \). L’application de la formule de la superficie d’un triangle nous donne alors

\[ A = \textstyle{\frac{1}{2}} bh = \textstyle{\frac{1}{2}}Cr = \textstyle{\frac{1}{2}}\tau\,r^2. \]

Il est tout simplement impossible d’éviter ce facteur d’un demi (tableau 3).

Quantité Symbole Expression
Distance tombée \( y \) \( \textstyle{\frac{1}{2}}gt^2 \)
Énergie de ressort \( U \) \( \textstyle{\frac{1}{2}}kx^2 \)
Énergie cinétique \( K \) \( \textstyle{\frac{1}{2}}mv^2 \)
Superficie du cercle \( A \) \( \textstyle{\frac{1}{2}}\tau\,r^2 \)
Tableau 3: Quelques formes quadratiques courantes.

Quod erat demonstrandum

On a voulu, dans ce manifeste, montrer que \( \tau \) est la vraie constante du cercle. Étant donné que, parmi les justifications en faveur de \( \pi \), la formule de la superficie du cercle était à peu près la dernière, et la meilleure, je vais ici être effronté et dire : CQFD.

4 Conflit et résistance

Malgré la démonstration irréfutable de la supériorité de \( \tau \), nombreux sont néanmoins ceux qui s’y opposent, à la fois en termes de notation et de nombre. Dans cette section, on répond aux préoccupations de ceux qui acceptent la valeur mais pas la lettre. On réfute ensuite certains des nombreux arguments opposés à \( C/r \) lui-même, y compris le soi-disant « Pi Manifesto » (« Manifeste de pi ») qui défend la primauté de \( \pi \). Dans ce contexte, on mentionnera le sujet assez avancé du volume d’une hypersphère (section 5.1), qui augmente et amplifie les arguments de la section 3 sur la superficie du cercle.

4.1 Un tour

La véritable épreuve de toute notation est l’usage. Ayant vu \( \tau \) utilisé tout au long de ce manifeste, vous êtes peut-être déjà convaincu qu’il remplit bien son rôle. Mais pour une constante aussi fondamentale que \( \tau \), il serait bien d’avoir des raisons plus profondes pour ce choix. Pourquoi pas \( \alpha \), par exemple, ou \( \omega \) ? Qu’est-ce que \( \tau \) a de si génial ?

Il y a deux raisons principales d’utiliser \( \tau \) pour la constante du cercle. La première est que \( \tau \) ressemble visuellement à \( \pi \) : après des siècles d’utilisation, l’association de \( \pi \) à la constante du cercle est inévitable, et l’utilisation de \( \tau \) se nourrit de cette association au lieu de la combattre. (En effet, la ligne horizontale dans chaque lettre suggère que l’on interprète les « jambes » comme des dénominateurs, de sorte que \( \pi \) a deux jambes dans son dénominateur, tandis que \( \tau \) n’en a qu’une. Vu de cette façon, la relation \( \tau = 2\pi \) est parfaitement naturelle 12.)

La seconde raison est que \( \tau \) correspond à un tour d’un cercle, et vous avez peut-être remarqué que « \( \tau \) » et « tour » (en anglais, turn) commencent tous les deux par le son « t ». C’était la motivation d’origine du choix de \( \tau \), et ce n’est pas un hasard : la racine du mot anglais turn est le mot grec τόρνος (tornos), qui signifie « tour » (machine-outil). L’utilisation d’une police mathématique pour la première lettre de τόρνος nous donne alors : \( \tau \).

Depuis le premier lancement du Manifeste de tau, j’ai appris que Peter Harremoës avait proposé de manière indépendante d’utiliser \( \tau \) à l’auteur de « \( \pi \) Is Wrong! », Bob Palais, en 2010 ; John Fisher avait proposé \( \tau \) dans un post Usenet en 2004 ; et Joseph Lindenberg avait anticipé à la fois l’argument et le symbole plus de vingt ans auparavant 13 ! Le Dr Harremoës en particulier a souligné l’importance d’un point qui a été soulevé pour la première fois dans la section 1.1 : l’utilisation de \( \tau \) donne un nom à la constante du cercle. Puisque \( \tau \) est une lettre grecque ordinaire, les personnes qui la rencontrent pour la première fois peuvent la prononcer immédiatement. De plus, au lieu d’appeler la constante du cercle un « tour », \( \tau \) fonctionne bien à la fois dans des contextes écrits et parlés. Par exemple, dire qu’un quart de cercle a une mesure d’angle en radians d’« un quart de tour » sonne bien, mais « un tour sur quatre radians » semble maladroit et « la superficie d’un cercle est d’un demi-tour \( r \) au carré » semble carrément bizarre. En utilisant \( \tau \), on peut dire « tau sur quatre radians » et « la superficie d’un cercle est d’un demi tau \( r \) au carré ».

Notation ambiguë

Bien sûr, avec toute nouvelle notation, il y a un risque de conflit avec les usages actuels. Comme remarqué dans la section 1.1, « \( \pi \) Is Wrong! » évite ce problème en introduisant un nouveau symbole (figure 3). Il y a des précédents à cela ; par exemple, aux premiers jours de la mécanique quantique, Max Planck a introduit la constante \( h \), qui relie l’énergie d’une particule de lumière à sa fréquence (via \( E = h\nu \)), mais les physiciens se sont vite rendus compte qu’il était souvent plus pratique d’utiliser \( \hbar \), que l’on prononce « h barre » (où \( \hbar \) est juste \( h \) divisé par… euh… \( 2\pi \)), et cet usage est depuis devenu standard.

Mais il est difficile pour un nouveau symbole d’être accepté : il faut lui donner un nom, ce nom doit être popularisé, et le symbole lui-même doit être ajouté aux systèmes de traitement de texte et de composition. De plus, la promulgation d’un nouveau symbole pour \( 2\pi \) nécessiterait la coopération de la communauté mathématique académique, qui, sur le sujet de \( \pi \) vs \( \tau \), a été jusqu’à présent au mieux apathique et au pire hostile. L’utilisation d’un symbole existant permet de contourner les autorités constituées 14.

Plutôt que de préconiser un nouveau symbole, Le Manifeste de tau opte pour l’utilisation d’une lettre grecque existante. Par conséquent, puisque \( \tau \) est déjà utilisé dans certains contextes actuels, il faut résoudre les conflits avec les pratiques existantes. Heureusement, il existe étonnamment peu d’utilisations courantes. De plus, alors que \( \tau \) est utilisé pour certaines variables spécifiques (par exemple, la contrainte de cisaillement en génie mécanique, le moment d’une force en mécanique rotationnelle et le temps propre en relativité restreinte et générale), il n’y a pas de conflit universel d’usage 15. Dans ce cas, on peut soit tolérer l’ambiguïté, soit contourner les quelques conflits actuels en modifiant sélectivement la notation, comme en utilisant \( N \) pour le moment d’une force 16 ou \( \tau_p \) pour le temps propre.

Malgré ces arguments, les conflits potentiels d’usage se sont révélés être la plus grande source de résistance à \( \tau \). Certains correspondants ont même catégoriquement nié que \( \tau \) (ou, vraisemblablement, tout autre symbole actuellement utilisé) pourrait éventuellement surmonter ces problèmes. Mais les scientifiques et les ingénieurs ont une grande tolérance pour les ambiguïtés de notation, et affirmer que \( \tau \)-la-constante-du-cercle ne peut pas coexister avec d’autres usages ignorerait des preuves considérables du contraire.

Un exemple d’ambiguïté facilement tolérée se produit en mécanique quantique, où l’on rencontre la formule suivante pour le rayon de Bohr, qui (grosso modo) est la « taille » d’un atome d’hydrogène dans son état d’énergie le plus bas (l’état fondamental) :

\[ a_0 = \frac{\hbar^2}{m e^2}, \]

\( m \) est la masse d’un électron et \( e \) est sa charge. Pendant ce temps, l’état fondamental lui-même est décrit par une quantité connue sous le nom de fonction d’onde, qui diminue de façon exponentielle avec un rayon sur une échelle de longueur définie par le rayon de Bohr :

\begin{equation} \label{eq:hydrogen} \psi(r) = N\,e^{-r/a_0}, \end{equation}

\( N \) est une constante de normalisation.

Alors, avez-vous trouvé le problème ? Probablement pas, et c’est exactement là où je veux en venir. Le « problème » est que le \( e \) dans le rayon de Bohr et le \( e \) dans la fonction d’onde ne sont pas les mêmes \( e \) : le premier est la charge d’un électron, tandis que le second est le nombre naturel (la base des logarithmes naturels). En fait, si l’on développe le facteur de \( a_0 \), dans l’argument de l’exposant, dans l’équation (10), on obtient

\[ \psi(r) = N\,e^{-m e^2 r/\hbar^2}, \]

qui a un \( e \) élevé à la puissance de quelque chose qui contient \( e \). C’est encore pire qu’il n’y paraît, car \( N \) lui-même contient aussi \( e \) :

\[ \psi(r) = \sqrt{\frac{1}{\pi a_0^3}}\,e^{-r/a_0} = \frac{m^{3/2} e^3}{\pi^{1/2} \hbar^3}\,e^{-m e^2 r/\hbar^2}. \]

Je ne doute pas que s’il n’existait pas déjà une notation distincte pour le nombre naturel, quiconque proposerait la lettre \( e \) se verrait dire que c’est impossible en raison des conflits avec d’autres usages. Pourtant, dans la pratique, personne n’a jamais de problème avec l’utilisation de \( e \) dans les deux contextes ci-dessus. Il existe de nombreux autres exemples, y compris des situations où même \( \pi \) est utilisé pour deux choses differentes 17. Il est difficile de voir en quoi l’utilisation de \( \tau \) pour de multiples quantités est différente.

Soit dit en passant, les pédants de \( \pi \) (et il s’est avéré qu’il y en a beaucoup) pourraient remarquer que la fonction d’onde de l’état fondamental de l’hydrogène a un facteur de \( \pi \) :

\[ \psi(r) = \sqrt{\frac{1}{\pi a_0^3}}\,e^{-r/a_0}. \]

À première vue, cela semble plus naturel que la version avec \( \tau \) :

\[ \psi(r) = \sqrt{\frac{2}{\tau a_0^3}}\,e^{-r/a_0}. \]

Comme d’habitude, les apparences sont trompeuses : la valeur de \( N \) vient du produit

\[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{2}{a_0^{3/2}}, \]

ce qui montre que la constante du cercle entre dans le calcul par \( 1/\sqrt{2\pi} \), c’est-à-dire \( 1/\sqrt{\tau} \). Comme pour la formule de la superficie du cercle, la manipulation qui laisse un \( \pi \) simple est une coïncidence.

4.2 Le Manifeste de pi

Bien que la plupart des objections à \( \tau \) proviennent d’une correspondance électronique dispersée et de divers commentaires sur le Web, il existe aussi une résistance organisée. En particulier, depuis la publication du Manifeste de tau en juin 2010, un « Manifeste de pi » est apparu pour plaider en faveur de la constante traditionnelle du cercle. Cette section et les deux suivantes contiennent une réfutation de ses arguments. Par nécessité, ce traitement est plus succinct et plus avancé que le reste du manifeste, mais même une lecture superficielle de ce qui suit donnera une impression de la faiblesse des justifications du Manifeste de pi.

Bien que l’on puisse certainement considérer son apparition comme un bon signe d’intérêt continu pour ce sujet, Le Manifeste de pi fait plusieurs fausses affirmations. Par exemple, il est écrit que le facteur de \( 2\pi \) dans la loi gaussienne (normale) est une coïncidence, et qu’il peut plus naturellement s’écrire comme

\[ \frac{1}{\sqrt\pi(\sqrt 2\sigma)}e^{\frac{-x^2}{(\sqrt 2\sigma)^2}}. \]

C’est faux : le facteur de \( 2\pi \) vient de l’élévation au carré de la loi gaussienne non normalisée et du passage aux coordonnées polaires, ce qui conduit à un facteur de 1 par l’intégrale radiale, et de \( 2\pi \) par l’intégrale angulaire. Comme dans le cas de la superficie du cercle, le facteur de \( \pi \) vient de \( 1/2\times 2\pi \), pas de \( \pi \) seul.

Une affirmation connexe est que la fonction gamma évaluée à \( 1/2 \) est plus naturelle en termes de \( \pi \) :

\[ \Gamma(\textstyle{\frac{1}{2}}) = \sqrt{\pi}, \]

\begin{equation} \label{eq:gamma} \Gamma(p) = \int_{0}^{\infty} x^{p-1} e^{-x}\,dx. \end{equation}

Mais \( \Gamma(\frac{1}{2}) \) se réduit à la même intégrale gaussienne que dans la loi normale (quand on pose \( u = x^{1/2} \)), donc \( \pi \) dans ce cas est aussi en fait \( 1/2\times 2\pi \). En effet, dans de nombreux cas cités dans Le Manifeste de pi, la constante du cercle entre par une intégrale sous tous les angles, c’est-à-dire comme \( \theta \) varie de \( 0 \) à \( \tau \).

Le Manifeste de pi examine aussi certaines formules pour des polygones réguliers à \( n \) côtés (ou « \( n \)-gones »). Par exemple, on y remarque que la somme des angles internes d’un \( n \)-gone nous est donnée par

\[ \sum_{i=1}^n \theta_i=(n-2)\pi. \]

Ce problème a été traité dans « \( \pi \) Is Wrong! », où on observe ce qui suit : « La somme des angles intérieurs [d’un triangle] est \( \pi \), c’est vrai. Mais la somme des angles extérieurs de tout polygone, dont la somme des angles intérieurs peut facilement être dérivée, et qui se généralise à l’intégrale de la courbure d’une simple courbe fermée, est de \( 2\pi \). » Le Manifeste de pi offre ensuite la formule de la superficie d’un \( n \)-gone avec un rayon unité (la distance du centre au sommet),

\[ A=n\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}, \]

et l’appelle « clairement… une autre victoire pour \( \pi \) ». Mais l’utilisation de la formule de l’angle double \( \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta \) montre que l’on peut écrire ceci comme

\[ A = n/2\, \sin\frac{2\pi}{n}, \]

ce qui est juste

\begin{equation} \label{eq:area_polygon} A = \frac{1}{2} n\, \sin\frac{\tau}{n}. \end{equation}

En d’autres termes, la superficie d’un \( n \)-gone a un facteur naturel de \( 1/2 \). En fait, prendre la limite de l’équation (12) lorsque \( n\rightarrow \infty \) (et appliquer la règle de L’Hôpital) nous donne la superficie d’un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1 avec une infinité de côtés, c’est-à-dire un cercle unité :

\begin{equation} \label{eq:lhopital} \begin{split} A & = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2} n\, \sin\frac{\tau}{n} \\ & = \frac{1}{2} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sin\frac{\tau}{n}}{1/n} \\ & = \tfrac{1}{2}\tau. \end{split} \end{equation}

Dans ce contexte, il convient de remarquer que Le Manifeste de pi fait toute une histoire du fait que \( \pi \) est la superficie d’un disque unité, de sorte que (par exemple) la superficie d’un quart de cercle (unité) est \( \pi/4 \). Ceci, prétend-on, est un tout aussi bon plaidoyer pour \( \pi \) que la mesure d’angle en radians l’est pour \( \tau \). Malheureusement pour cet argument, comme remarqué dans la section 3 et comme on le voit à nouveau dans l’équation (13), le facteur de \( 1/2 \) apparaît naturellement dans le contexte de la superficie du cercle. En effet, la formule de la superficie d’un secteur circulaire sous-tendu par l’angle \( \theta \) est

\[ \tfrac{1}{2}\theta\, r^2, \]

donc il n’y a aucun moyen d’éviter le facteur de \( 1/2 \) en général. (On voit donc que \( A = \frac{1}{2}\tau r^2 \) est simplement le cas particulier où \( \theta = \tau \).)

En bref, la différence entre la mesure d’angle et la superficie n’est pas arbitraire. Il n’y a pas de facteur naturel de \( 1/2 \) dans le cas de la mesure d’angle. En revanche, dans le cas de la superficie, le facteur de \( 1/2 \) résulte de l’intégrale d’une fonction linéaire en association avec une forme quadratique simple. En fait, la défense de \( \pi \) est encore pire qu’il n’y paraît, comme le montre la section suivante.

5 Faire la lumière sur pi et tau

Je continue d’être impressionné par la richesse de ce sujet, et ma compréhension de \( \pi \) et \( \tau \) continue d’évoluer. Le jour de demi-tau 2012, je pensais avoir identifié exactement ce qui n’allait pas avec \( \pi \). Mon argument reposait sur une analyse de la superficie et du volume d’une sphère à \( n \) dimensions, qui (comme on le montre ci-dessous) révèle clairement que \( \pi \) n’a pas de signification géométrique fondamentale. Mon analyse était cependant incomplète ; un fait porté à mon attention dans un message remarquable d’un lecteur du Manifeste de tau, Jeff Cornell. En conséquence, cette section est une tentative non seulement de discréditer définitivement \( \pi \), mais aussi d’articuler la vérité sur \( \tau \), une vérité plus profonde et plus subtile que je l’avais imaginé.

Note : Cette section est plus avancée que le reste du manifeste et peut être ignorée sans perte de continuité. Si vous la trouvez déroutante, je recommande de passer directement à la conclusion, dans la section 6.

5.1 Superficie et volume d’une hypersphère

Nous commençons nos recherches par la généralisation d’un cercle à des dimensions arbitraires 18. Cet objet, appelé hypersphère ou \( n \)-sphère, peut-être défini comme suit 19. (Par commodité, on suppose que ces sphères sont centrées sur l’origine.) Une \( 0 \)-sphère est l’ensemble vide, et l’on définit son « intérieur » comme un point 20. Une \( 1 \)-sphère est l’ensemble de tous les points qui satisfont

\[ x^2 = r^2, \]

qui se compose des deux points \( \pm r \). Son intérieur, qui satisfait

\[ x^2 \leq r^2, \]

est le segment de droite de \( -r \) à \( r \). Une \( 2 \)-sphère est un cercle, qui est l’ensemble de tous les points qui satisfont

\[ x^2 + y^2 = r^2. \]

Son intérieur, qui satisfait

\[ x^2 + y^2 \leq r^2, \]

est un disque. De même, une \( 3 \)-sphère satisfait

\[ x^2 + y^2 + z^2 = r^2, \]

et son intérieur est une boule. La généralisation à \( n \) arbitraire, bien que difficile à visualiser pour \( n > 3 \), est simple : une \( n \)-sphère est l’ensemble de tous les points qui satisfont

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = r^2. \]

Le Manifeste de pi (qu’on mentionne dans la section 4.2) inclut une formule pour le volume d’une \( n \)-sphère unité comme argument en faveur de \( \pi \) :

\begin{equation} \label{eq:unit_n_sphere_pi} \frac{\sqrt{\pi}^{n} }{\Gamma(1 + \frac{n}{2})}, \end{equation}

où la fonction gamma nous est donnée par l’équation (11). L’équation (14) est un cas particulier de la formule du rayon général, qui est aussi généralement écrite en termes de \( \pi \) :

\begin{equation} \label{eq:n_sphere_pi} V_n(r) = \frac{\pi^{n/2} r^n}{\Gamma(1 + \frac{n}{2})}. \end{equation}

Parce que \( V_n(r) = \int S_n(r)\,dr \), on a \( S_n(r) = dV_n(r)/dr \), ce qui signifie que la superficie peut s’écrire comme suit :

\begin{equation} \label{eq:n_sphere_pi_r} S_n(r) = \frac{n \pi^{n/2} r^{n-1}}{\Gamma(1 + \frac{n}{2})}. \end{equation}

Plutôt que de simplement prendre ces formules pour argent comptant, voyons si l’on peut les démêler pour mieux éclairer la question de \( \pi \) vs \( \tau \). Nous commençons notre analyse en notant que l’apparente simplicité des formules ci-dessus est une illusion : bien que la fonction gamma soit simple sur le plan de la notation, c’est en fait une intégrale sur un domaine semi-infini, ce qui n’est pas du tout une idée simple. Heureusement, on peut simplifier la fonction gamma dans certains cas particuliers. Par exemple, lorsque \( n \) est un entier, il est facile de montrer (en utilisant l’intégration par parties) que

\[ \Gamma(n) = (n-1)(n-2)\ldots 2\cdot 1 = (n-1)! \]

Vu de cette façon, on peut interpréter \( \Gamma \) comme une généralisation de la fonction factorielle à des arguments à valeurs réelles 21.

Dans les formules de superficie et de volume à \( n \) dimensions, l’argument de \( \Gamma \) n’est pas nécessairement un entier, mais plutôt \( \left(1 + \frac{n}{2}\right) \), qui est un entier lorsque \( n \) est pair est un demi-entier lorsque \( n \) est impair. En tenir compte nous donne l’expression suivante, qui est tirée d’une référence standard, Wolfram MathWorld, et comme d’habitude est écrite en termes de \( \pi \) :

\begin{equation} \label{eq:surface_area_mathworld} S_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2\pi^{n/2}\,r^{n-1}}{(\frac{1}{2}n - 1)!} & n \text{ pair}; \\ \\ \displaystyle \frac{2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & n \text{ impair}. \end{cases} \end{equation}

L’intégration par rapport à \( r \) nous donne alors

\begin{equation} \label{eq:volume_mathworld} V_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\pi^{n/2}\,r^n}{(\frac{n}{2})!} & n \text{ pair}; \\ \\ \displaystyle \frac{2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}\,r^n}{n!!} & n \text{ impair}. \end{cases} \end{equation}

Examinons l’équation (18) plus en détail. On remarque tout d’abord que MathWorld utilise la double factorielle \( n!! \) ; mais, étrangement, il ne l’utilise que dans le cas impair. (Ceci est un soupçon de choses à venir.) La double factorielle, bien que rarement rencontrée en mathématiques, est élémentaire : elle est comme la fonction normale factorielle, mais implique de soustraire \( 2 \) à la fois au lieu de \( 1 \), de sorte que, par exemple, \( 5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 \) et \( 6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 \). En général, on a

\begin{equation} \label{eq:double_factorial} n!! = \begin{cases} n(n-2)\ldots6\cdot4\cdot2 & n \text{ pair}; \\ \\ n(n-2)\ldots5\cdot3\cdot1 & n \text{ impair}. \end{cases} \end{equation}

(Par définition, \( 0!! =1!! = 1 \).) On remarque que l’équation (19) se divise naturellement en cas pairs et impairs, ce qui rend encore plus mystérieuse la décision de MathWorld de l’utiliser uniquement dans le cas impair.

Pour résoudre ce mystère, on commence par regarder de plus près la formule pour \( n \) impair dans l’équation (18) :

\[ \frac{2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}\,r^n}{n!!} \]

En examinant l’expression

\[ 2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}, \]

on remarque que l’on peut la réécrire comme

\[ 2(2\pi)^{(n-1)/2}, \]

et ici nous reconnaissons notre vieil ami \( 2\pi \).

Examinons maintenant le cas pair dans l’équation (18). On a remarqué plus haut combien il est étrange d’utiliser la factorielle ordinaire dans le cas pair mais la double factorielle dans le cas impair. En effet, puisque la double factorielle est déjà définie par morceaux, si l’on unifiait les formules en utilisant \( n!! \) dans les deux cas, on pourrait le retirer comme un facteur commun :

\[ V_n(r) = \frac{1}{n!!}\times \begin{cases} \ldots & n \text{ pair}; \\ \\ \ldots & n \text{ impair}. \end{cases} \]

Alors, y a-t-il un lien entre la factorielle et la double factorielle ? Oui : lorsque \( n \) est pair, les deux sont liés par l’identité suivante :

\[ \left(\frac{n}{2}\right)! = \frac{n!!}{2^{n/2}}. \]

(Ceci est facile à vérifier en utilisant le raisonnement par récurrence.) La substitution de ceci dans la formule de volume pour \( n \) pair nous donne alors

\[ \frac{2^{n/2}\pi^{n/2}\,r^n}{n!!}, \]

ce qui ressemble beaucoup à

\[ \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{n!!}, \]

et là encore on trouve un facteur de \( 2\pi \).

En rassemblant ces résultats, on voit que l’on peut réécrire l’équation (18) comme

\begin{equation} \label{eq:volume_2pi} V_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{n!!} & n \text{ pair}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{n!!} & n \text{ impair} \end{cases} \end{equation}

et l’équation (17) comme

\begin{equation} \label{eq:surface_area_2pi} S_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & n \text{ pair}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & n \text{ impair}. \end{cases} \end{equation}

Faire la substitution \( \tau=2\pi \) dans l’équation (21) nous donne alors

\[ S_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\tau^{n/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & n \text{ pair}; \\ \\ \displaystyle \frac{2\tau^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & n \text{ impair}. \end{cases} \]

Pour unifier davantage les formules, on peut utiliser la fonction partie entière \( \lfloor x \rfloor \), qui est tout simplement le plus grand entier inférieur ou égal à \( x \) (équivalent à couper la partie fractionnaire, de sorte que, par exemple, \( \lfloor 3{,}7 \rfloor = \lfloor 3{,}2 \rfloor = 3 \)). Cela nous donne

\[ S_n(r) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & n \text{ pair}; \\ \\ \displaystyle \frac{2\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} & n \text{ impair}, \end{cases} \]

ce qui permet d’écrire la formule comme suit :

\begin{equation} \label{eq:surface_area_tau} S_n(r) = \frac{\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^{n-1}}{(n-2)!!}\times \begin{cases} 1 & n \text{ pair}; \\ \\ 2 & n \text{ impair}. \end{cases} \end{equation}

L’intégration de l’équation (22) par rapport à \( r \) nous donne alors

\begin{equation} \label{eq:volume_tau} V_n(r) = \frac{\tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^n}{n!!}\times \begin{cases} 1 & n \text{ pair}; \\ \\ 2 & n \text{ impair}. \end{cases} \end{equation}

Lambda

Les formules de l’équation (22) et l’équation (23) représentent une amélioration majeure par rapport aux formulations originales (équation (17) et équation (18)) en termes de \( \pi \). Mais en fait une simplification supplémentaire est possible, en utilisant la mesure d’un angle droit 22 :

\begin{equation} \label{eq:lambda} \lambda = \frac{\tau}{4}. \end{equation}

Comme on le verra dans la section 5.2, on peut plus naturellement réécrire l’équation (24) en termes de symétries du cercle :

\begin{equation} \label{eq:tau_lambda} \tau = 2^2 \lambda, \end{equation}

où le facteur de \( 2^2 \) provient des \( 2^2 \) arcs circulaires congruents (un dans chaque quadrant) dans l’espace bidimensionnel.

Le plus grand avantage de \( \lambda \) est qu’il unifie complètement les cas pair et impair dans l’équation (22) et l’équation (23), dont chacun a un facteur de \( \tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \). Faire la substitution dans l’équation (25) nous donne alors

\[ \begin{split} \tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} = (2^2\lambda)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} & = 2^{2\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \\ & = \lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\times \begin{cases} 2^n & n \text{ pair}; \\ \\ 2^{n-1} & n \text{ impair}. \end{cases} \end{split} \]

Cela signifie que l’on peut réécrire le produit

\[ \tau^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\times \begin{cases} 1 & n \text{ pair}; \\ \\ 2 & n \text{ impair}. \end{cases} \]

comme

\begin{equation} \label{eq:prefactor} \begin{split} \lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \times \begin{cases} 2^n & n \text{ pair}; \\ \\ 2^{n-1} & n \text{ impair} \end{cases} & \times \begin{cases} 1 & n \text{ pair}; \\ \\ 2 & n \text{ impair} \end{cases} \\ & = 2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}, \end{split} \end{equation}

ce qui élimine la dépendance explicite de la parité. L’application de l’équation (26) à l’équation (22) et à l’équation (23) nous donne alors

\begin{equation} \label{eq:surface_area_lambda} S_n(r) = \frac{2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^{n-1}}{(n-2)!!} \end{equation}

et

\begin{equation} \label{eq:volume_lambda} V_n(r) = \frac{2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\,r^n}{n!!}. \end{equation}

La simplification de l’équation (27) et de l’équation (28) semble se faire au prix d’un facteur de \( 2^n \), mais même cela a une signification géométrique claire : une sphère en \( n \) dimensions se divise naturellement en \( 2^n \) morceaux congruents, correspondant aux \( 2^n \) familles de solutions à \( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = r^2 \) (une pour chaque choix de \( \pm x_i \)). En deux dimensions, ce sont les arcs circulaires dans chacun des quatre quadrants ; en trois dimensions, ce sont les secteurs de la sphère dans chaque octant ; et ainsi de suite dans des dimensions supérieures. En d’autres termes, on peut exploiter la symétrie de la sphère en calculant la superficie ou le volume d’un morceau (généralement la partie principale\( x_i > 0 \) pour chaque \( i \)) puis trouver la valeur complète en multipliant par \( 2^n \).

À ma connaissance, l’équation (27) et l’équation (28) sont les formulations les plus simples possibles des formules de superficie et de volume d’une sphère (et sont en fait les seules formes que j’ai toujours pu mémoriser). Considérez la formule du volume en particulier : contrairement à la fausse simplicité de l’équation (15), l’équation (28) n’implique pas d’intégrales compliquées ; juste les fonctions partie entière et double factorielle, légèrement exotiques mais cependant élémentaires. Le volume d’une \( n \)-sphère unité est juste le volume de chaque morceau symétrique, \( \lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}/n!! \), multiplié par le nombre de morceaux, \( 2^n \).

Récurrences

On a maintenant vu, via l’équation (27) et l’équation (28), que les formules de superficie et de volume sont au plus simple quand elles sont posées en termes d’angle droit \( \lambda \). Cependant, on n’en a toujours pas fini avec \( \tau \).

Comme on le voit dans l’équation (28), la formule de volume se divise naturellement en deux familles, qui correspondent respectivement aux espaces à dimensions paires et impaires. Cela signifie que le volume à quatre dimensions, \( V_4 \), est lié simplement à \( V_2 \) mais pas à \( V_3 \), tandis que \( V_3 \) est lié à \( V_1 \) mais pas à \( V_2 \). Comment sont-ils exactement liés ?

On peut trouver la réponse en dérivant les relations de récurrence entre les dimensions 23. En particulier, divisons le volume d’une sphère à \( n \) dimensions par le volume d’une sphère à \( n-2 \) dimensions :

\begin{equation} \label{eq:volume_recurrence} \begin{split} \frac{V_n(r)}{V_{n-2}(r)} & = \frac{2^n}{2^{n-2}} \frac{\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{\lambda^{\left\lfloor \frac{n-2}{2} \right\rfloor}} \frac{(n-2)!!}{n!!} \frac{r^{n}}{r^{n-2}} \\ & = \frac{2^2\lambda}{n}\,r^2. \end{split} \end{equation}

On voit dans l’équation (29) que l’on peut obtenir le volume d’une \( n \)-sphère simplement en multipliant la formule pour une \( (n-2) \)-sphère par \( r^2 \) (un facteur requis par l’analyse dimensionnelle), en la divisant par \( n \), et en la multipliant par la « constante de récurrence » \( 2^2\lambda \).

De même, pour la superficie on a

\begin{equation} \label{eq:surface_area_recurrence} \begin{split} \frac{S_n(r)}{S_{n-2}(r)} & = \frac{2^n}{2^{n-2}} \frac{\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{\lambda^{\left\lfloor \frac{n-2}{2} \right\rfloor}} \frac{(n-2-2)!!}{(n-2)!!} \frac{r^{n}}{r^{n-2}} \\ & = \frac{2^2\lambda}{n-2}\,r^2, \end{split} \end{equation}

avec la même constante de récurrence \( 2^2\lambda \).

Ainsi, dans l’équation (29) comme l’équation (30), la constante qui relie les différentes dimensions n’est pas \( \lambda \) lui-même, mais plutôt la combinaison \( 2^2\lambda \). En comparant avec l’équation (25), on voit que ce n’est autre que \( \tau \) ! En fait, une dérivation alternative de la récurrence du volume par calcul direct (qui utilise \( R \) où l’on écrit \( r \)) se conclut par l’intégrale

\begin{equation} \label{eq:integral_recurrence} \begin{split} V_n(R) & = \int_0^\tau \int_0^R V_{n-2}\left(\sqrt{R^2 - r^2}\right) \,r\,dr\,d\theta \\ & = \tau V_{n-2}(R) \left[-\frac{R^2}{n}\left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2\right)^\frac{n}{2}\right]_{0}^{R} \\ & = \frac{\tau R^2}{n} V_{n-2}(R), \end{split} \end{equation}

ce qui montre ainsi que l’identification de \( \tau \) comme « constante de récurrence » n’est pas un hasard ; la constante de récurrence et la constante du cercle sont vraiment une seule et même chose :

\[ \begin{split} \tau & = \mbox{constante du cercle} \\ & = \mbox{constante de}\; \mathrm{r\acute{e}currence} = 2^2\lambda. \end{split} \]

Par conséquent, c’est \( \tau \), et non \( \lambda \), qui fournit le fil conducteur qui relie les deux familles de solutions paires et impaires, comme l’illustre Joseph Lindenberg sur Tau avant que ce soit cool (figure 16) 24.

images/figures/Nspheres_fr
Figure 16: Récurrences de superficie et de volume.

Lorsque l’on mentionne les sphères générales à \( n \) dimensions, pour des raisons de commodité, on écrira les formules de superficie et de volume en termes de \( \lambda \) comme dans l’équation (27) et l’équation (28), mais pour n’importe quel \( n \) déterminé, on exprimera les résultats en termes de la constante de récurrence \( \tau \).

5.2 Trois familles de constantes

Équipé des outils développés dans la section 5.1, on est maintenant prèt à faire la lumière sur \( \pi \) et \( \tau \). Pour terminer les fouilles, on utilisera l’équation (27) et l’équation (28) pour définir deux familles de constantes, puis on utilisera la définition de \( \pi \) (équation (1)) pour en définir une troisième, révélant ainsi exactement ce qui ne va pas avec \( \pi \).

Tout d’abord, on définira une famille de « constantes de superficie » \( \tau_n \) en divisant l’équation (27) par \( r^{n-1} \), la puissance de \( r \) nécessaire pour produire une constante sans dimension pour chaque valeur de \( n \) :

\begin{equation} \label{eq:surface_area_constants} \tau_n \equiv \frac{S_n(r)}{r^{n-1}} = \frac{2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{(n-2)!!} \end{equation}

Deuxièmement, on définira une famille de « constantes de volume » \( \sigma_n \) en divisant la formule de volume, l’équation (28), par \( r^n \), produisant à nouveau une constante sans dimensions pour chaque valeur de \( n \) :

\begin{equation} \label{eq:volume_constants} \sigma_n \equiv \frac{V_n(r)}{r^n} = \frac{2^n\,\lambda^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}}{n!!}. \end{equation}

Avec les deux familles de constantes définies dans l’équation (32) et l’équation (33), on peut écrire les formules de superficie et de volume (équation (27) et équation (28)) de manière compacte comme suit :

\[ S_n(r) = \tau_n\,r^{n-1} \]

et

\[ V_n(r) = \sigma_n\,r^n. \]

En raison de la relation \( V_n(r) = \int S_n(r)\,dr \), on a le rapport simple

\[ \sigma_n = \frac{\tau_n}{n}. \]

Faisons quelques observations sur ces deux familles de constantes. La famille \( \tau_n \) a une signification géométrique importante : en posant \( r=1 \) dans l’équation (32), on voit que chaque \( \tau_n \) est la superficie d’une \( n \)-sphère unité, ce qui est aussi la mesure d’angle d’une \( n \)-sphère complète. En particulier, en écrivant \( s_n(r) \) comme la « longueur d’arc » à \( n \) dimensions égale à une fraction \( f \) de la superficie totale \( S_n(r) \), on a

\[ \theta_n \equiv \frac{s_n(r)}{r^{n-1}} = \frac{f S_n(r)}{r^{n-1}} = f\left(\frac{S_n(r)}{r^{n-1}}\right) = f\tau_n. \]

Ici, \( \theta_n \) est simplement la généralisation à \( n \) dimensions de la mesure d’angle en radians, et on voit que \( \tau_n \) est la généralisation d’« un tour » à \( n \) dimensions, ce qui explique pourquoi la constante de la \( 2 \)-sphère (du cercle) \( \tau_2 = 2^2 \lambda = \tau \) conduit naturellement au diagramme illustré en figure 10. De plus, on a appris dans la section 5.1 que \( \tau_2 \) est aussi la « constante de récurrence » pour les superficies et les volumes des \( n \)-sphères.

Parallèlement à cela, les \( \sigma_n \) sont les volumes des \( n \)-sphères unité. En particulier, \( \sigma_2 \) est la superficie d’un disque unité :

\[ \sigma_2 = \frac{\tau_2}{2} = \frac{\tau}{2}. \]

Cela montre que \( \sigma_2 = \tau/2 = 3{,}141\,59\ldots \) a bien une signification géométrique indépendante. On constate cependant que cela n’a rien à voir avec les circonférences ou les diamètres. En d’autres termes, \( \pi = C/D \) n’est pas membre de la famille \( \sigma_n \).

Alors, à quelle famille de constantes appartient naturellement \( \pi \) ? Reformulons l’équation (1) en termes plus appropriés pour la généralisation à des dimensions supérieures :

\[ \pi = \frac{C}{D} = \frac{S_2}{D^{2-1}}. \]

On voit ainsi que \( \pi \) est naturellement associé à des superficies divisées par la puissance du diamètre nécessaire pour donner une constante sans dimension. Cela suggère d’introduire une troisième famille de constantes \( \pi_n \) :

\begin{equation} \label{eq:diameter_constants} \pi_n \equiv \frac{S_n(r)}{D^{n-1}}. \end{equation}

On peut exprimer cela en termes de famille \( \tau_n \) en substituant \( D = 2r \) dans l’équation (34) et en appliquant l’équation (32) :

\[ \pi_n = \frac{S_n(r)}{D^{n-1}} = \frac{S_n(r)}{(2r)^{n-1}} = \frac{S_n(r)}{2^{n-1}r^{n-1}} = \frac{\tau_n}{2^{n-1}}. \]

Et l’on est enfin en mesure de comprendre exactement ce qui ne va pas avec \( \pi \). La signification géométrique principale de \( 3{,}141\,59\ldots \) est qu’il est la superficie d’un disque unité. Mais ce nombre provient de l’évaluation de \( \sigma_n = \tau_n/n \) lorsque \( n=2 \) :

\[ \sigma_2 = \frac{\tau_2}{2} = \frac{\tau}{2}. \]

Il est vrai que cela est égal à \( \pi_2 \) :

\[ \pi_2 = \pi = \frac{\tau_2}{2^{2-1}} = \frac{\tau}{2}. \]

Mais cette égalité est une coïncidence : elle ne se produit que parce qu’il se trouve que \( 2^{n-1} \) est égal à \( n \) lorsque \( n=2 \) (c’est-à-dire \( 2^{2-1} = 2 \)). Dans toutes les dimensions supérieures, \( n \) et \( 2^{n-1} \) sont distincts. En d’autres termes, la signification géométrique de \( \pi \) est le résultat d’un jeu de mots mathématique.

6 Conclusion

Au fils des ans, j’ai entendu de nombreux arguments contre \( \pi \) étant mauvais et contre \( \tau \) étant bon, donc avant de conclure cette discussion, j’aimerais répondre à certaines des questions les plus fréquemment posées.

6.1 Questions fréquemment posées

  • Êtes-vous sérieux ? Bien sûr. Je veux dire, c’est un projet sympa, et le ton est parfois léger, mais il y a un but sérieux. Établir la constante du cercle comme la circonférence divisée par le diamètre est une convention maladroite et déroutante. Bien que j’aimerais vraiment voir les mathématiciens changer leurs habitudes, je ne suis pas particulièrement inquiet pour eux ; ils peuvent prendre soin d’eux-mêmes. Ce sont les néophytes qui m’inquiètent le plus, car ils subissent de plein fouet les dommages causés par ce choix : comme indiqué dans la section 2.1, \( \pi \) est un désastre pédagogique. Essayez d’expliquer à un enfant de douze ans (ou à un trentenaire) pourquoi la mesure d’angle d’un huitième de cercle (une tranche de pizza) est \( \pi/8 \). Non, attends, \( \pi/4 \). Vous voyez ce que je veux dire ? C’est de la folie… de la folie pure.
  • Comment passer de \( \pi \) à \( \tau \) ? La prochaine fois que vous avez besoin de la constante du cercle à l’écrit, dites simplement « Par commodité, on définit \( \tau=2\pi \) », puis procédez comme d’habitude. (Bien sûr, cela pourrait bien conduire à la question : « Mais pourquoi faire ça ? » Et j’admets qu’il serait bien de pouvoir les diriger quelque part. Si seulement quelqu’un écrivait, disons, un manifeste sur le sujet…) Commencez à utiliser \( \tau \) vous-même, si vous voulez pousser les gens à commencer à l’utiliser.
  • N’est-il pas trop tard pour faire l’échange ? Ne faudrait-il pas réécrire tous les manuels et articles mathématiques ? Non, et non. Il est vrai que certaines conventions, bien que regrettables, sont en réalité irréversibles. Par exemple, le choix de Benjamin Franklin pour les signes des charges électriques conduit à l’exemple familier du courant électrique (c’est-à-dire, les électrons libres dans les métaux) étant positif lorsque les porteurs de charge sont négatifs, et vice versa ; maudissant les étudiants débutants en physique à être confus par des signes négatifs depuis lors 25. Pour changer cette convention, il faudrait bel et bien réécrire tous les manuels (et brûler les anciens) car il est impossible de dire d’un coup d’œil quelle convention est utilisée. En revanche, alors que la redéfinition de \( \pi \) est effectivement impossible, nous pouvons passer de \( \pi \) à \( \tau \) à la volée en utilisant la conversion
    \[ \pi \leftrightarrow \textstyle{\frac{1}{2}}\tau. \]

    C’est purement une question de substitution mécanique, complètement robuste et, d’ailleurs, entièrement réversible. Le passage de \( \pi \) à \( \tau \) peut donc se faire de manière incrémentale ; contrairement à une redéfinition, il n’est pas nécessaire de le faire d’un seul coup.

  • L’utilisation de \( \tau \) ne va-t-elle pas porter à confusion, en particulier pour les étudiants ? Si l’on est assez intelligent pour comprendre la mesure d’angle en radians, on est assez intelligent pour comprendre \( \tau \) ; et pourquoi \( \tau \) est en fait plus intuitif que \( \pi \). Et il n’y a rien d’insolite en soi dans l’énoncé « Soit \( \tau=2\pi \) » ; d’un point de vue limité, c’est juste une simple substitution. Enfin, nous pouvons saisir la situation comme une opportunité d’enseignement : l’idée que \( \pi \) pourrait être faux est intéressante, et les élèves peuvent s’investir dans le cursus en convertissant les équations de leurs manuels de \( \pi \) à \( \tau \) pour voir par eux-mêmes quel choix est le meilleur.
  • Est-ce vraiment si important ? Bien sûr, c’est important. La constante du cercle est importante. Les gens se sentent assez concernés pour écrire des livres entiers sur le sujet, pour la célébrer un jour par an et pour mémoriser des dizaines de milliers de ses chiffres. Je me sens assez concerné pour écrire un manifeste entier, et vous vous sentez assez concerné pour le lire. C’est précisément parce que c’est important qu’il est difficile d’admettre que la convention actuelle est mauvaise. (Je veux dire, comment expliquer à Rajveer Meena, le détenteur d’un record du monde, qu’il vient de réciter 70 000 chiffres d’une moitié de la vraie constante du cercle ?) Puisque la constante du cercle est importante, il est important qu’elle soit juste, et nous avons vu dans ce manifeste que le nombre juste est \( \tau \). Bien que \( \pi \) soit d’une grande importance historique, la signification mathématique de \( \pi \) est que c’est la moitié de \( \tau \).
  • Mais pourquoi a-t-on utilsé \( \pi \) en premier lieu ? En tant que notation, \( \pi \) a été popularisé il y a environ 300 ans par Leonhard Euler (d’après les travaux de William Jones), mais les origines des \( \pi \)-le-nombre se sont perdues dans la nuit des temps. Je soupçonne que la convention d’utiliser \( C/D \) au lieu de \( C/r \) est née simplement du fait qu’il est plus facile de mesurer le diamètre d’un objet circulaire que de mesurer son rayon. Mais cela n’en fait pas une bonne pratique mathématique, et je suis surpris qu’Archimède, qui est connu pour avoir approximé la constante du cercle, n’ait pas réalisé que \( C/r \) était le nombre le plus fondamental des deux. Je suis encore plus surpris qu’Euler n’ait pas corrigé le problème quand il en a eu l’occasion ; contrairement à Archimède, Euler avait l’avantage de la notation algébrique moderne, qui (comme nous l’avons vu à partir de la section 2.1) rend les relations sous-jacentes entre les cercles et la constante du cercle très claires. Incroyablement, Euler a en fait utilisé le symbole \( \pi \) pour signifier \( C/D \) ou \( C/r \) à des moments différents ! Quel dommage qu’il n’ait pas standardisé le choix le plus pratique.
  • Pourquoi êtes-vous intéressé par ce sujet ? Primo, en tant que chercheur de vérité, je recherche des explications exactes. Secundo, en tant que professeur, je recherche des présentations claires. Tertio, en tant que hacker, j’aime les bonnes astuces. Quarto, en tant qu’étudiant en histoire et en nature humaine, je trouve fascinant que l’absurdité de \( \pi \) soit restée clairement visible pendant des siècles avant que quelqu’un la remarque. De plus, beaucoup de ceux qui ont loupé la vraie constante du cercle sont parmi les personnes les plus rationnelles et intelligentes à avoir jamais vécu. Quoi d’autre pourrait se cacher sous notre nez, à attendre juste d’être découvert ?
  • Êtes-vous, genre, un fou ? Premièrement, ce n’est pas de vos affaires. Deuxièmement, non. Hormis le port occasionnel de chaussures inhabituelles, je suis, par mon aspect extérieur, normal à tous égards. On ne devinerait jamais que, loin d’être un citoyen ordinaire, je suis en fait un propagandiste mathématique notoire.
  • Mais, et les jeux de mots ? Nous arrivons maintenant à la dernière objection. Je sais, je sais, « deux abbés sur deux \( \pi \)erres carrées », c’est tellement malin. Pourtant, \( \tau \) lui-même regorge de possibilités. L’identité \( e^{i\tau} = 1 \) nous dit : « Soyez un avec le \( \tau \)26. » Et même si observer qu’« une rotation d’un tour vaut 1 » ressemble à une \( \tau \)tologie, c’est la vraie nature du \( \tau \). Quand nous contemplons cette nature pour chercher la voie du \( \tau \), gardons à l’esprit que le \( \tau \)isme est basé sur la raison, pas sur la foi : les \( \tau \)istes ne sont jamais \( \pi \)eux. Et si vous n’êtes toujours pas convaincu, demandez-vous : pourquoi traîner les \( \pi \)eds, quand vous pouvez prendre le \( \tau \)reau par les cornes ?

6.2 Embrassez le tau

On a vu dans Le Manifeste de tau que le choix naturel pour la constante du cercle est le rapport de la circonférence d’un cercle non pas à son diamètre, mais à son rayon. Ce nombre a besoin d’un nom, et j’espère que vous vous joindrez à moi pour l’appeler \( \tau \) :

\[ \begin{split} \mbox{constante du cercle} = \tau & \equiv \frac{C}{r} \\ & = 6{,}283\,185\,307\,179\,586\ldots \end{split} \]

L’usage est naturel, la motivation est claire et les implications sont profondes. Et en plus, il vient avec un diagramme vraiment cool (figure 17). On voit sur la figure 17 un mouvement à travers le yang (« clair, blanc, montant ») jusqu’à \( \tau/2 \) et un retour à travers le yin (« sombre, noir, descendant ») jusqu’à \( \tau \)27. Utiliser \( \pi \) au lieu de \( \tau \), c’est comme avoir le yang sans le yin.

images/figures/tauism_rotated
Figure 17: Les disciples du \( \tau \)isme cherchent la voie du \( \tau \).

6.3 Jour de tau

Le Manifeste de tau a été lancé pour la première fois le Jour de tau : le 28 juin (écrit 6/28 aux États-Unis) 2010. Le Jour de tau est voué à célébrer et se réjouir de tout ce qui concerne les mathématiques 28. Si vous voulez recevoir des mises à jour sur \( \tau \), y compris des notifications sur d’éventuels futurs événements du Jour de tau, veuillez vous inscrire à la liste de diffusion du Manifeste de tau ci-dessous. Et si vous pensez que les pâtisseries circulaires du Jour de pi sont goûteuses, attendez un instant : le Jour de tau a deux fois plus de pi(e)29 !

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Remerciements

Je voudrais tout d’abord remercier Bob Palais pour avoir écrit « \( \pi \) Is Wrong! » Je ne me souviens pas à quel point je me méfiais de \( \pi \) avant de rencontrer cet article, mais « \( \pi \) Is Wrong! » m’a vraiment ouvert les yeux, et chaque section du Manifeste de tau lui doit une dette de gratitude. Je tiens aussi à remercier Bob pour ses commentaires utiles sur ce manifeste, et surtout pour sa gentillesse à ce sujet.

Cela fait un bon moment que je pense au Manifeste de tau, et un bon nombre des idées présentées ici ont été développées au cours de conversations avec mon ami Sumit Daftuar. Sumit a agi comme caisse de résonance, et occasionnellement comme avocat du Diable ; et sa perspicacité, en tant qu’enseignant et en tant que mathématicien, a influencé ma pensée de bien des manières.

J’ai également reçu des encouragements et des commentaires utiles de plusieurs lecteurs. Je tiens à remercier Vi Hart et Michael Blake pour leurs incroyables vidéos inspirées de \( \tau \), ainsi que Don « Blue » McConnell et Skona Brittain pour avoir aidé \( \tau \) à faire partie de la culture geek (via l’application pour iPhone de temps-en-\( \tau \) et l’horloge tau, respectivement). La sympathique interprétation du symbole yin-yang utilisé dans Le Manifeste de tau est due à une suggestion de Peter Harremoës, qui (comme indiqué plus haut) a la rare distinction d’avoir proposé indépendamment d’utiliser \( \tau \) pour la constante du cercle. Un autre \( \tau \)iste pré-Manifeste de tau, Joseph Lindenberg, a également été un fervent partisan du mouvement, et son enthousiasme est très apprécié. J’ai reçu plusieurs bonnes suggestions de Christopher Olah, surtout par rapport à l’interprétation géométrique de l’identité d’Euler, et la section 2.3.2 sur les identités eulériennes s’inspire d’une excellente suggestion de Timothy « Patashu » Stiles. Don Blaheta a anticipé et inspiré une partie du contenu sur les hypersphères, et John Kodegadulo l’a articulé d’une manière particulièrement claire et divertissante. Puis Jeff Cornell, avec son observation sur l’importance de \( \tau/4 \) dans ce contexte, a ébranlé ma foi et m’a époustouflé.

Enfin, je tiens à remercier Wyatt Greene pour ses remarques extraordinairement utiles sur une ébauche du manifeste avant le lancement ; entre autres choses, si jamais vous avez besoin de quelqu’un pour vous dire que « pratiquement toute de la section 5 [maintenant supprimée] est complètement merdique », Wyatt est l’homme de la situation 30.

À propos de l’auteur

Michael Hartl est un éducateur, un auteur et un entrepreneur. Il est cofondateur et auteur principal de Learn Enough et du Tutoriel Ruby on Rails. Auparavant, il a enseigné la physique théorique et computationnelle au California Institute of Technology (Caltech), où il a reçu le Prix d’excellence pour remarquables services rendus dans le domaine de l’enseignement et a servi comme éditeur de Caltech pour Le Cours de physique de Feynman. Il est diplômé du Harvard College, il a un doctorat en physique de Caltech et il est ancien élève du programme d’entrepreneur Y Combinator.

Michael a honte d’admettre qu’il connaît \( \pi \) à 50 décimales, soit environ 48 de plus que Matt Groening. Pour se faire pardonner, il a mémorisé 52 décimales de \( \tau \).

1. Palais, Robert. « \( \pi \) Is Wrong! », The Mathematical Intelligencer, volume 23, numéro 3, 2001, pages 7–8. De nombreux des arguments du Manifeste de tau sont basés sur ou sont inspirés par « \( \pi \) Is Wrong! ». Il est disponible en ligne sur la page de Palais, sur le site de l’Université d’Utah.
2. Le symbole \( \equiv \) signifie « défini comme ».
3. Image récupérée de Wikimedia le 12 mars 2019. Copyright © 2016 par Ruleroll et utilisé sans modification selon les termes de la licence Attribution - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International de Creative Commons.
4. La vidéo de la figure 5 (disponible sur https://vimeo.com/12914981) est un extrait d’une conférence donnée par le Dr Sarah Greenwald, professeur de mathématiques à l’Appalachian State University. Le Dr Greenwald utilise des références mathématiques des Simpson et de Futurama pour susciter l’interêt de ses élèves et pour les aider à surmonter leur anxiété mathématique. Elle est aussi la responsable de la « page de maths de Futurama ».
5. Ici \( B_n \) est le \( n \)ième nombre de Bernoulli.
6. Ces graphiques ont été produits avec l’aide de Wolfram|Alpha.
7. Ici, je définis implicitement l’identité d’Euler comme l’exponentielle complexe de la constante du cercle, plutôt que de la définir comme l’exponentielle complexe de n’importe quel nombre spécifique. Si l’on choisit \( \tau \) comme la constante du cercle, on obtient l’identité montrée. Comme on le verra dans un moment, ce n’est pas la forme traditionnelle de l’identité, qui implique bien sûr \( \pi \) ; mais la version avec \( \tau \) est la déclaration la plus mathématiquement significative de l’identité, donc je crois qu’elle mérite ce nom.
8. Techniquement, tous les théorèmes mathématiques sont des tautologies, mais ne soyons pas aussi pédants.
9. En effet, l’équation (6) peut s’écrire \( e^{i\tau} = 1 + 0i \), ce qui rend la relation entre les cinq nombres encore plus explicite.
10. Techniquement, toutes les intégrales doivent être définies et la variable d’intégration doit être différente de la limite supérieure (par exemple, \( \int_{0}^{t} gt'\, dt' \), que l’on prononce « l’intégrale de zéro à té de gé té prime dé té prime »). Ces abus mineurs de notation sont courants en physique et dans d’autres contextes mathématiques moins formels comme celui que l’on considère ici.
11. On peut l’avoir vu écrit comme \( F=-kx \). Dans ce cas, \( F \) fait référence à la force qu’exerce le ressort. Selon la troisième loi de Newton, la force externe qu’on mentionne plus haut est le négatif de la force du ressort.
12. Merci au lectur du Manifeste de tau, Jim Porter, d’avoir souligné cette interprétation.
13. Lindenberg a inclus à la fois son manuscrit dactylographié original et un grand nombre d’autres arguments sur son site Tau avant que ce soit cool.
14. Peut-être qu’un jour, les mathématiciens académiques arriveront à un consensus sur un symbole différent pour le nombre \( 2\pi \) ; si cela se produit, je me réserve le droit de soutenir leur notation proposée. Mais ils ont eu plus de 300 ans pour résoudre ce problème de \( \pi \), donc n’y comptez pas trop.
15. La seule exception possible est le nombre d’or, qui est souvent désigné par \( \tau \) en Europe. Cela dit, non seulement existe-t-il une alternative commune à cette notation (à savoir la lettre grecque \( \varphi \)), mais cet usage montre qu’il existe un précédent pour utiliser \( \tau \) pour désigner une constante mathématique fondamentale.
16. Cette alternative pour le moment d’une force est déjà utilisée ; voir, par exemple, Introduction to Electrodynamics (Introduction à l’électrodynamique) de David Griffiths, page 162.
17. Voir, par exemple, An Introduction to Quantum Field Theory (Une Introduction à la théorie quantique des champs) par Peskin et Schroeder, où \( \pi \) est utilisé pour désigner à la fois la constante du cercle et une « quantité conjuguée de mouvement » sur la même page (page 282).
18. Cette discussion est basée sur un excellent commentaire de John Kodegadulo sur http://spikedmath.com.
19. Les géomètres et les topologues utilisent des définitions incompatibles d’hypersphères ; cette discussion utilise les définitions des géomètres.
20. Cela a du sens, car un point n’a pas de frontière, c’est-à-dire que la frontière d’un point est l’ensemble vide.
21. En fait, la généralisation aux arguments à valeurs complexes est simple : il suffit de remplacer le \( x \) réel par le \( z \) complexe dans l’équation (11).
22. Ce changement de notation et d’analyse générale a été suggéré par Jeff Cornell.
23. L’article « The volume of the unit ball in n dimensions » (« Le volume de la boule unité en \( n \) dimensions ») de Phanuel A. Mariano contient une dérivation alternative de ces récurrences importantes.
24. Tau avant que ce soit cool remarque en fait la récurrence en termes de \( 2\pi \) ; la version illustrée en figure 16 a été créée pour moi sur demande spéciale. Comme toujours, je suis très reconnaissant envers Joseph Lindenberg pour sa générosité et son soutien continus.
25. On ne pouvait pas déterminer le signe des porteurs de charge avec la technologie de l’époque de Franklin, donc ce n’est pas de sa faute. C’est juste de la malchance.
26. N. du T. : En anglais, la prononciation de la lettre grecque \( \tau \) (/taʊ/) correspond à une prononciation alternative courante de Tao.
27. Les interprétations du yin et du yang citées ici sont tirées de Zen Yoga: A Path to Enlightenment through Breathing, Movement and Meditation (Yoga zen : Un chemin vers l’illumination par la respiration, le mouvement et la méditation) par Aaron Hoopes.
28. Puisque 6 et 28 sont les deux premiers nombres parfaits, 6/28 est en fait une journée parfaite.
29. N. du T. : Un autre jeu de mots, qui vient du fait qu’en anglais, la lettre grecque \( \pi \) est un homophone de pie /paɪ/, qui signifie « tarte ».
30. Les traducteurs tiennent à remercier Alexandre Lellouche pour avoir lu une première version de cette traduction, et pour ses commentaires qui ont éclairé leur travail.